阶常系数线性微分方程(IV)

《阶常系数线性微分方程(IV)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多，本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果可以推广到二阶以上的线性微分方程。定义形如的方程，称为二阶线性微分方程。§6二阶常系数线性微分方程当f(x)=0时，称为二阶齐次线性微分方程；当f(x)≠0时，称为二阶非齐次线性微分方程；设y1=y1(x),y2=y2(x),,yn=yn(x)是一组定义在区间I上的函数，如果存在n个不全为零的常数k1,k2,,kn,使得xI,恒成立k1y1+k2y2++knyn=0则称y1,y2,,yn,是线性相关的.否则称它们是线性无关的.一

2、、函数的线性无(相)关定义例1.sin2x,cos2x,1在R上线性相关.因sin2x+cos2x–1=0例2.1,x,x2,,xn-1,在R上线性无关.证:若k0,k1,,kn-1,使k0+k1x++kn-1xn–1=0在R上成立,必有k0=k1==kn-1=0.命题两个非零函数y1,y2在区间I上线性无关二、二阶线性微分方程及其解的结构n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式(1)(2)如果y1,y2是齐次方程(1)的两个解,则(i)y=y1+y2也

3、是(1)的解.(ii)y=ky1也是(1)的解.证:(i)因Ln(y1)=0,Ln(y2)=0,所以,Ln(y)=Ln(y1)+Ln(y2)=0.即y是(1)的解.同理可证(ii).叠加原理若y1,y2是二阶方程(1)的两个线性无关的解,则方程(1)的通解为y=C1y1+C2y2其中C1,C2为任意常数.同理,若Ln(y)=0有n个线性无关的解y1,y2,,yn,则通解为y=C1y1+C2y2++Cnyn定理1定理1指出了二阶线性齐次方程的通解的结构：通解是两个线性无关的特解的线性组合；容易验证：是二阶齐次线性方

4、程的两个特解，且线性无关；所以的通解为：定理2设y*是方程(2)的解,y是(1)的解,则也是(2)的解.y*+y证:L(y*+y)=L(y*)+L(y)=L(y*)=f(x)定理2指出了二阶非齐次线性方程的通解的结构：非齐次线性方程的通解由两部分组成:一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程自身的特解。定理3L(y)=f1(x)和L(y)=f2(x)的解,L(y)=f1(x)+f2(x)的解.容易验证：设是某二阶非齐次线性方程的解，求该方程的通解。解所以Y1，Y2线性无关，故通解为：一般形式二阶由定理1

5、可知，只要找出（1）的两个线性无关的特解y1,y2,便可得方程（1）的通解y=C1y1+C2y2三、二阶常系数齐次线性方程解法（1）设想(1)有形式解y=erx(为什么?)(2)r2+pr+q=0故有(2)式称为(1)的特征方程,分三种情形讨论(i)=p2–4q>0,(2)有两个不等实根r1,r2.(1)的通解为代入得(r2+pr+q)erx=0例1.求解方程y''y'6y=0的通解.解：特征方程是r2r6=0其根r1=3,r2=2是两个相异实根,故所求通解为y=C1e3x+C2e2x.(ii)=0,r1

6、=r2(=r)一特解为得齐次方程的通解为例2求解方程4y''+12y'+9y=0.解：特征方程是4r2+12r+9=0.此方程有二重实根故所求通解为(iii)<0,r1,2=i为一对共轭复根.得(1)的两个复数形式的解Y1=e(+i)x,Y2=e(–i)x由叠加原理,知也是(1)的解,且线性无关,故(1)的通解为例3求解方程y''6y'+13y=0.解：特征方程是r26r+13=0.其根r1,2=32i为一对共轭复根,故所求通解为特征根方程的通解一对共轭复根r1,2=i两个不等的实根r1,r2

7、两个相等的实根r1=r2=r(0)求二阶常系数齐次线性微分方程通解步骤：Step1：写出方程（1）的特征方程Step2：求出特征方程的两个根r1,r2Step3：根据（3）的两个根的不同情况，按照下表写出方程（1）的通解：上述方法可推广到解n阶常系数齐次线性方程的情形,此时特征方程为其特征方程的根对应微分方程的解的情况如下表特征根对应的线性无关的特解(1)单实根rr1,2=i(2)k重实根r…,(3)一对单复根r=i(4)一对k重复根(0)(0)…,…,例4求解方程y(4)2y'''+5y''=

8、0.解：特征方程为r42r3+5r2=0.对应线性无关的特解为y1=1,y2=x,y3=excos2x,y4=exsin2x,故所求通解为其根为r1=r2=0,r3,4=12i.解：特征方程对应线性无关的特解为y1=e2x,y2=ex,y3=xex,y4=x2ex,故所求通解为例5求解方程其根为r1=2