阶常系数线性微分方程(II)

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1、§9.3二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性方程二、二阶常系数非齐次线性方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程称为二阶线性微分方程．称为二阶齐次线性微分方程．称为二阶非齐次线性微分方程．例如，定义9.4数.则称定理9.1例如,它们是线性无关的．故方程的通解为是方程的通解,所以特征方程的根为特征根的三种不同情况讨论：方程有两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为通过直接验证可知，得齐次方程的通解为是方程的两个线性无关的特解,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程(2)求出特征方程的两个根(3)根据特征方程的两个根的

2、不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解例1解特征方程为所以所给方程的通解为例2解特征方程为所以所给方程的通解为例3解方程的特征方程为于是容易得到:方程的通解为方程的通解为方程的通解为即得以上通解均不是周期函数,形如的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中二、二阶常系数非齐次线性方程通常称方程(9-25)对应的齐次方程.定理9.2下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构齐次方程通解非齐次方程特解齐次方程通解非齐次方程特解齐次方程通解非齐次方程特解例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为定理9.3是方程的通解.非齐次线性微分方程通解结构为关键：如何求非齐次线性微分方程

3、特解．特点：待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而求出方程的特解.f(x)的类型取试解函数条件试解函数y*的形式f(x)=Pn(x)eμxμ为常数.μ不是特征根y*=eμxQn(x)μ是单特征根y*=xeμxQn(x)μ是重特征根y*=x2eμxQn(x)f(x)=(Acosωx+Bsinωx)eμxμ,ω,A,B为常数.μ±iω不是特征根y*=(Acosωx+Bsinωx)eμxμ±iω是特征根y*=x(Acosωx+Bsinωx)eμx注Pn(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an为已知n次多项式Qn(x)=b0xn+b1

4、xn－1+…+bn－1x+bn为待定n次多项式例4解对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为为待定常数,代入所给方程,得比较同幂次项系数,得于是方程通解为综上讨论，求非齐次线性微分方程特解时例5解对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为代入所给方程,有比较同幂次项系数,得于是得方程的通解为例6解对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为代入所给方程,有于是得所给方程的通解是例7解对应齐次方程的特征方程为解得于是对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为于是,得所给方程的通解是代入所给方程,有