阶常系数线性微分方程(I)

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1、第七节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式2、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根(1)特征方程有两个不相等的实根两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为特征根为(2)特征方程有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为(3)特征方程有一对共轭复根特征根为这时原方程有两个复数解:可得得齐次方程的通

2、解为二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程:(2)求出特征根:(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解.定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例3例4求解初值问题解特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性方程解法解特征方程为解得故所求通解为例1例2解特征方程：特征根:原方程通解:思考与练习求方程的通解.

3、答案:通解为通解为通解为二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程的结构知:非齐次线性微分方程的通解=对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构f(x)常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.1、f(x)=Pm(x)ex型设方程特解为其中Q(x)为待定多项式,代入原方程,得从而得到特解形式为(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为即即综上可得：(Page291)可设

4、特解形式为不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得原方程通解为例1对应齐次方程为解故对应齐次方程通解为特征方程为其特征根为代入原方程,得原方程通解为例2对应齐次方程为例3解特征方程为特征根为故对应齐次方程的通解为对应齐次方程为代入原方程,得原方程通解为由解得所以原方程满足初始条件的特解为2、f(x)=ex[Pl(x)cosx+Pn(x)sinx]型利用欧拉公式求如下两方程的特解：Page2

5、93注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的根,可设非齐次方程特解为例1解对应齐次方程为例2特征方程为对应齐次方程通解为特征根为提示对应齐次方程通解为所求非齐次方程特解为原方程通解为例3例4解对应齐次方程的特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为设原方程的特解为故原方程的通解为例53、小结二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法)练习写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解三、二阶常系数线性微分方程应用举例1、建立微

6、分方程的基本条件1)要熟悉能用导数表示的各种常见变化率.2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理.2、建立微分方程及求解的注意点如果问题要求“运动规律”、“变化规律”等，则需要用微分方程来解决问题.这时应根据问题的特征利用已知定律来建立微分方程或用微元法导出微分方程.2)根据问题给出的特定时刻或位置的信息,写出定解条件或确定解中的积分常数、比例系数等.3)要注意单位的统一.