阶常系数齐次线性微分方程(I)

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1、一、二阶常系数齐次线性方程二、二阶常系数齐次线性方程解法三、n阶常系数齐次线性方程解法四、小结及作业1二阶齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程一、二阶常系数齐次线性方程2将它代入方程(2)得31.当时,特征方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解因此方程的通解为42.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定),代入方程特征方程:则因为是特征方程的重根,故不防取u=x,则得因此原方程的通解为53.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个解为了得到实数解,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为6二、二阶常系数齐次线性方

2、程解法：为常数)特征方程根实根特征根通解7例1求方程的通解.解特征方程有根因此原方程的通解为例2求解初值问题解特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为8解特征方程为解得故所求通解为例3910三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项11注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.12特征根为故所求通解为解特征方程为例613例7求方程的通解.解特征方程解得因此原方程通解为例5解方程解特征方程解得原方程通解(不难看出,原方程有特解14例8解方程解特征方程即其根为方程通解为15四、小结二阶

3、常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)161718思考题求微分方程的通解.19思考题解答令则特征根通解20练习题21练习题答案22