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时间：2019-08-08
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1、第八节二阶常系数齐次线性微分方程一、定义二、二阶常系数齐次线性方程解法三、小结一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式定理设y=y1(x)及y=y2(x)是上述方程的两个解，那么，对于任何常数C1、C2，y=C1y1(x)+C2y2(x)仍然是上述方程的解。由此定理可知，只要找到方程的两个解y1(x)及y2(x)，且y1/y2≠常数，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)就是含有两个任意常数的解，即方程的通解。二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程
2、的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为解得u=C1+C2x,由于我们只要得到一个不为常数的解，故可有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1例2求方程满足初始条件的特解。解所给方程的特征方程为其根为所求方程的通解为将条件带入上式所求方程的特解为解特征方程为解得故所求通解为例3四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通
3、解.(见下表)特征根的情况通解的表达式实根21rr¹实根21rr=复根bair±=2,1xrxreCeCy2121+=xrexCCy2)(21+=)sincos(21xCxCeyxbba+=
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