阶常系数齐次线性微分方程(VI)

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1、一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想有特解有两个不相等的实根特征根为两个线性无关的特解得齐次方程的通解为有两个相等的实根特征根为一特解为得齐次方程的通解为有一对共轭复根特征根为重新组合得齐次方程的通解为由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.方法步骤①写出特征方程②求出特征根③

2、按特征根的三种不同情况依下表写出齐通解特征根齐通解例1求通解解特征方程为特征根为齐通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例3解特征方程为解得故所求通解为例4设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为2秒，求浮筒的质量解设浮筒的质量为m平衡时圆柱浸入水中深度为l浮力重力设t时刻浮筒上升了x米此时浮力重力由Newton第二定律记三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.实重根复单根复重根实单根几种情况每个

3、根对应通解中的一项其写法与二阶方程的情形完全类似具体分为例5解特征方程为解得故所求通解为例6解特征方程为特征根为故所求通解为四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.思考题求微分方程的通解.思考题解答令则特征根通解练习题练习题答案