阶常系数齐次线性微分方程(VII)

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1、三、n阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性微分方程第七节一、常系数线性微分方程的标准形式第十二章一、常系数线性微分方程的标准形式n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性微分方程解法欧拉待定指数法(或特征方程法):将其代入方程(7.1),得特征方程特征多项式特征根：(7.3)有两个不相等的实根:故齐次线性方程(7.1)的通解为(7.3)有两个相等的实根：得(7.1)的一特解为:00得齐次线性方程(7.1)的通解为(7.3)有一对共轭复根:

2、得(7.1)的两个复值特解:由欧拉公式，得重新组合：故齐次线性方程(7.1)的通解为例1————————————.解二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.特征根的情况通解的表达式定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例3三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任

3、意常数.解特征方程为特征根：(1)当a=0时，特征根：所求通解为例4(2)当a>0时，特征根：所求通解为：特征根为故所求通解为解特征方程为例5例6解内容小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)特征根情况通解的表达式解备用题例1-1例5-2解(方法1)(方法2)例6-1解