阶常系数非齐次线性微分方程(V)

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1、第八节二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数非齐次线性方程解法第十二章分析由线性微分方程解的结构定理知，求(8.1)的通解的关键是求与(8.1)对应的齐次线性方程(8.2)的通解Y及(8.1)的一个特解y*.二阶常系数非齐次线性方程：一、二阶常系数非齐次线性方程解法对应齐次线性方程:(8.1)的通解结构:如何求(8.1)的特解？方法：待定系数法.类型1k非特征根0特征单根1特征重根2推导如下：设非齐次线性方程(8.1)的特解为x的待定多项式代入方程(8.1),得综上所述：注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重

2、根次数).例1解不是特征根，是特征单根，由解的叠加原理，解2°对应齐次线性方程通解1°特征方程特征根代入方程,得例2例3解(1)(2)(2)之通解：代入(1)，得故(1)有特解：(1)的通解为：另法:方程(1)为:(2)之通解：代入(1)，得故(1)有特解：(1)的通解为：=+ik非特征根0特征根1类型2引理利用欧拉公式，得均为实系数多项式，则其中例4解解2º对应齐次线性方程的通解例51º3º求非齐次线性方程的特解(方法1)代入原方程，得比较同类项系数：从而原方程有特解：故原方程通解为(方法2)作辅助方程①①代入①式，得故原

3、方程通解为例6(综合题)解①②∴②的通解为①的特解为代入①，得故①有特解：①的通解为：内容小结待定系数法：只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.1.写出微分方程的待定特解的形式.思考题设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）解(1)题中所给方程为积分方程,根据积分方程的特点,应先将方程两端对x求导.例2-2分析把问题转化为求微分方程满足一定初始条件的解;(2)方程右端的积分中,被积函数出现x,相对与积分变量t而言,x可看作常数.可以将它提到积分号外,然后求导.备用题解例6-1解(方法1)

4、(方法2)