阶线性常系数微分方程(I)

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1、n阶线性常系数微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式9-5二阶线性常系数微分方程1.线性常系数齐次方程常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第十二章-----特征方程法故有特征方程特征根二阶线性常系数齐次方程的解法(9.70)和它的导数只差常数因子,代入(9.70)得所以令方程的解为(为待定常数),(1)有两个不相等的实根特征根为方程的两个解线性无关得齐次方程的通解为(2)有两个相等的实根特征根为可得方程的一个解,可验证也是方程的一个解.带入(9.70),得00这说明是方程（9

2、.70）的一个解.又因为（不为常数），线性无关.方程的两个解线性无关得齐次方程的通解为或例1的通解.解特征方程特征根:因此原方程的通解为得齐次方程的通解为(3)有一对共轭复根特征根为是方程的两个解也是方程的解线性无关.例2求下列微分方程的通解：解（1）特征方程为特征根:因而方程有两个线性无关的特解方程的通解为（2）特征方程为特征根:因而方程有两个线性无关的特解方程的通解为特征根的情况通解的表达式)sincos(21xCxCeyxbba+=实根21¹实根21=复根（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（

3、2）求出特征根;n阶常系数线性齐次方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.例3求的通解.解特征方程为易看出是一个特征根，于是利用多项式除法可得特征根:因此原方程的通解为例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解2.若干特殊线性常系数非齐次微分方程的特解根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法①为

4、实数,设特解为其中为待定多项式,为n次多项式.(1)①注：(1)若不是特征方程的根,代入原方程,得(*)由于是一个n次多项式，要使（*）的两端恒等可令Q(x)为另一个n次多项式：其中为待定系数.代入（*）比较两端(*)(2)若是特征方程的单根,即那么(*)成为(*)x的同次幂的系数，就得到n+1个方程联立的方程组，从而确定(n+1)个待定常数,所求特解为要使（*）恒等，那末Q(x)必须是n次多项式，令用同样的方法确定的系数.(*)3.如果是特征方程的重根,即那么(*)成为(*)要使（*）恒等，那末Q(x)必须是n次多项式.令用同样的方法确定系数.结论：在（1）

5、中，若①则（1）具有形如的特解，其中与同次，k按不是特征根、是特征单根、是特征重根依次取0、1或2.特别是特解补例求y-2y-3y=3x+1的一个特解.解对应的齐次方程为y-2y-3y=0,其特征方程为这里=0不是特征根，应设特解为y*=b0x+b1.代入方程，-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较x同次幂系数，得-3b0=3,-2b0-3b1=1.于是特解为求得例4求方程的通解.解对应的齐次方程为特征方程：特征根：齐次方程的通解：这里=0不是特征根，应设特解为代入方程得比较x同次幂系数得：于是特解为原方程的通解为例5求的通解.解对应的齐次方程的特征根为

6、“5”不是特征根，所以设方程有特解代入微分方程得求得故得特解于是微分方程的通解补例解方程特征方程：代入原方程，得解齐次方程：特征根：齐次方程的通解因为为特征方程的单根，故设特解原方程的通解为补例求方程y-5y+6y=的通解.解对应的齐次方程为y-5y+6y=0,特征方程为特征根为齐次方程的通解为由于=2是特征单根，故应设特解代入方程，得比较x同次幂系数得解得于是特解为通解为①（2）其中a,b中可以一个等于0，设想方程(1)有如下形式的特解：其中A，B待定.代入(1),整理得由于函数组线性无关，上式两端与的系数应相等，即有其中A，B为未知数.由线性代数的理论知，上

7、式方程组有惟一解的充要条件是其系数行列式（1）当与不同时为零(这等价于不是方程的特征根）时(9.82)有唯一解，记作A*，B*.这时方程（1）有特解①（11）当与同时为零(这等价于是方程的特特征根）时,由方程组（9.82）无法确定A与B.这时，设方程(1)有下列形式的特解其中常数A，B待定.将上式代入(1)(注意）由此得其系数行列式所以此方程有惟一解A*，B*，这时就是(1)的一个特解.例6求方程的通解.解对应的齐次方程为特征方程为特征根为由于不是特征根，所以设特解为齐次方程的通解为代入方程得比较系数得解得A=1,B=3.特解