阶线性微分方程(I)

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1、1一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.2齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)32.线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:4常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.设通解形式5积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解6解例17例2.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求解.令则代入非齐次方程得解得:故原方程通解为8例3.解方程

2、9求微分方程的通解.10例5.求方程的通解.解:注意用这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程由一阶线性方程通解公式,得乘方程两边,得即所求通解为11例6如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程12所求曲线为13伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.14求出通解后，将代入即得代入上式15例1.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方

3、程通解:16解例217例3用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为18解分离变量法得所求通解为19解代入原式分离变量法得所求通解为另解20思考与练习判别下列方程类型提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程21三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程22P2811(1)(3)(6)(7)(10);2(2)(4)(5),3,4,6,7(2)(3)(5)，9(2)(3)。作业12-423练习题242526练习题答案2728