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时间：2019-08-08
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1、一阶线性微分方程第四节一、线性微分方程的概念齐次线性微分方程；非齐次线性微分方程.例如线性方程;非线性方程.微分方程，称为线性微分方程.关于未知函数及其各阶导数是一次式的一阶线性微分方程的一般形式为:称为一阶齐次线性微分方程；称为一阶非齐次线性微分方程.二、一阶线性微分方程的解法所以一阶齐次线性方程(1)的通解为1.一阶齐次线性方程注意积分中不含任意常数2.一阶非齐次线性方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.令积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解1:(1)先求对应的齐次方程的通解
2、分离变量,得两边积分得ln
3、y
4、=2ln
5、x+1
6、+C1通解y=C(x+1)2例1(2)常数变易法设y=C(x)(x+1)2为所求方程通解,其中C(x)待定.原方程的通解为例1解2解例2例3解例4如图所示，平行于轴的动直线被曲线两边求导得解解此微分方程故所求曲线方程为与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.称为伯努利(Bernoulli)方程.即为线性微分方程.为非线性微分方程.解法:伯努利方程经过变量代换可化为线性方程.三、伯努利方程代入上式有一阶线性微分方程解例5例6解例7用适当的变量代换解下列微分方程:解分离变量法得所求通解为积分得解代入原式分离变量法得所求通解
7、为另解积分得一阶线性微分方程思考题求微分方程的通解.解答
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