阶线性微分方程(VIII)

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1、第五节二阶线性微分方程高等数学05-05-01一、二阶线性微分方程高等数学05-05-02二、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶线性微分方程(second-orderlineardifferentialequation)形如y+p(x)y+q(x)y=f(x)的方程，称为二阶线性微分方程，其中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量x的已知函数。高等数学05-05-03如果y+p(x)y+q(x)y=f(x)中f(x)0，上述方程称为二阶线性齐次微分方程。如果y+p(x)y+q(x)y=f(x)中f(x)0，上述方程称为二阶线性非

2、齐次微分方程。高等数学05-05-04形如y+py+qy=f(x)的方程，称为二阶常系数线性微分方程，其中p,q为常数，f(x)是自变量x的已知函数。如果y+py+qy=f(x)中f(x)0，上述方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，即为y+py+qy=0高等数学05-05-05定理（解的叠加原理）若y1(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，则y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)也是齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，其中C1,C2为任意常数。高等数学05-05-06线性相关的解满足高等数学

3、05-05-07的两个解y1(x),y2(x)，其中k为常数，称为线性相关的解，否则称为线性无关的解。定理若y1(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，则它们的线性组合y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)是齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的通解，其中C1,C2为任意常数。高等数学05-05-08例若微分方程x2y–xy+y=0的一个解为y1=x，求方程的通解。高等数学05-05-09定理若y*(x)是二阶线性非齐次微分方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解，Y=C1y1(x)+

4、C2y2(x)是对应的齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的通解，则y=Y+y*是非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解。高等数学05-05-10例已知微分方程(x–1)y–xy+y=–x2+2x–2的三个解为y1=x2，y2=x+x2，y3=x2+ex，求微分方程的通解。高等数学05-05-11二阶常系数线性齐次微分方程形如y+py+qy=0的微分方程，称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q为常数。高等数学05-05-12特征方程(characteristicequation)方程r2+pr+q=0称为二阶常系数线性齐次微分方程

5、y+py+qy=0的特征方程。高等数学05-05-13特征根方程r2+pr+q=0的根r1,r2，称为二阶常系数线性齐次微分方程y+py+qy=0的特征根。高等数学05-05-14二阶常系数齐次线性微分方程的通解为高等数学05-05-15例求下列方程的通解。（2）y–6y+9y=0（3）y–2y+5y=0高等数学05-05-16（1）y–2y–3y=0课堂讨论题求下列方程的通解或特解。（1）y–y=0（2）y–5y+6y=0,y

6、x=0=0.5,y

7、x=0=1高等数学05-05-17（3）y+4y+4y=0二阶常系数线性非齐

8、次微分方程形如y+py+qy=f(x)的微分方程，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，其中p,q为常数。高等数学05-05-18例求非齐次微分方程y+y+4y=x+2的一个特解。高等数学05-05-19高等数学05-05-20非齐次项f(x)特解的形式ax+b(1)当0不是特征根时：y*=Ax+B(2)当0是特征根(单根)时：y*=x(Ax+B)(3)当0是特征根(重根)时：y*=x2(Ax+B)例求非齐次微分方程y+2y+3y=3cos2x的一个特解。高等数学05-05-21高等数学05-05-22非齐次项f(x)特解的形式bcosax或bsinax(1)

9、当ia不是特征根时：y*=Acosax+Bsinax(2)当ia是特征根时：y*=x(Acosax+Bsinax)例求非齐次微分方程y+3y+2y=2ex的通解。高等数学05-05-23高等数学05-05-24非齐次项f(x)特解的形式beax(1)当a不是特征根时：y*=Aeax(2)当a是特征根(单根)时：y*=Axeax(3)当a是特征根(重根)时：y*=Ax2eax课堂讨论题求非齐次微分方程y–6y+5y=4e5x的通解。高等数学05-05-25小结：二阶线性微分方程（齐次，非齐次）二阶常系数线