重积分的计算法(III)

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1、三重积分的定义第三节三重积分的计算法一、直角坐标三重积分记为直角坐标系中将三重积分化为三次积分．如图，过点作平行z轴的直线穿过,穿入点在曲面上，穿出点在曲面上,即上对z积分,结果是,先固定x,y,在x,y的函数,先对z次对y最后对x的三次积分.注意同理,若用平行x轴且穿过内部的直线与的边界曲面交点不多于两个,则可先对x积分,此时将投影到yoz平面的投影域,以的边界曲线为准线作母线平行x轴的柱面将分成前,后两部分:则其中例1计算与三坐标面围成.解:例2计算围成.解:由对称性知原式例3将化为三次积分

2、.围成.围成在第一卦限部分.例4将化为先对x次对y最后对z的三次积分.解:与yoz面交线xyzoyyzo先二后一法的一般步骤：计算三重积分也可先在的一个截面上计算二重积分,再算一个定积分——先二后一法解面积当例6计算解：关于x是偶函数，故二次分部积分例7设f在上连续，围成.解求二、柱面坐标和球面坐标系下的三重积分三重积分换元法规定：1.利用柱面坐标计算三重积分记为柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．柱面坐标系下体积元素柱面坐标系下的三重积分为例1将化为柱面坐标系下

3、的三次积分围成.解解解知两曲面交线为由对称性知解法1用柱面坐标(先一后二)法1用柱面坐标(先二后一)例4一容器由yoz平面上的抛物线绕z轴旋转而成,容器内有的水,又注入的水,问水面比原来升高多少?解:设高为h的容器内水的体积为由知,由知,所以升高12cm.2.利用球面坐标计算三重积分空间一点用三个有序数表示记规定：球面坐标球面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标系下的体积元素为球面坐标系下的三重积分为例1将化为球面坐标系下的三次积分.解:其中解例2求解:或用先

4、二后一法例3求解:令则或令例4将化为柱面坐标系、球面坐标下的三次积分。解：计算例5解:由的对称性知（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标小结