重积分的计算法(VI)

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1、第二节二重积分的计算法利用直角坐标计算(续)利用极坐标计算小结、作业1如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分2如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤①画域，②选序，③定限ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，若是X—型，就先y后x;若是Y

2、—型，就先x后y.注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。4例6.改换解：写出D的表达式，画D的图形改为先对x再对y的积分yx0D245解画积分区域如图6例8计算解D是X—型区域要分部积分，不易计算若先x后y则须分片易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。D7解8例10.关于分块函数在D上的积分.其中D：0x1,0y1解：积分区域如图记f(x,y)=

3、y–x

4、=y–x,当yx时,x–y,当y

5、的积分要分块(区域)来积.另外，带绝对值的函数是分块函数。yx0D211y=xD1D10解画图.11例12.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为12化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来.另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明:13引例计算其中故本题

6、无法用直角坐标计算.140xyx2+y214对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为15即16二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图极点在区域之外区域特征如图17二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图（极点在D的边界上）18二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图（极点在D的内部）极坐标系下区域的面积19例12.求其中D：x2+y21.解：一般,若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用　　极坐标积分。0xyx2+y21令x=rcos,y

7、=rsin,则x2+y2=1的极坐标方程为r=1.由(2)D*:0r1,0220另由几何意义：21凑微分解22例14计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.230xyx2+y2注:利用此例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用上例的结果,得①故①式成立.24例15计算解25例16.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知26计算解：心脏线方程，考虑用极坐标。练习1、272、3、28292、3、原式=30练习题答案31练习题答

8、案32作业习题9-210;11(2)(4);13(1)(4);14;15(1)(3)(4).33关于二重积分计算的说明：一、基本方法——化为累次积分（降维数）。二、关键——选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。根据：(1)积分域的形状（分块少，表达简便）矩形、三角形、边界主要为直角坐标线——直角坐标；扇形、圆域、圆环域边界主要为极坐标线——极坐标；(2)被积函数的形式（各层积分中的原函数易求）含x2+y2——极坐标，一般先r后的顺序。三、利用对称性、轮换对等性化简计算。四、利用几何意义化简计算。五、化为二次积分后，各层积分都有：上限>下限。34二、利用极坐标

9、系计算二重积分35