重积分的计算法(VII)

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1、二重积分的计算法第二节一、直角坐标计算法我们知道：如果函数f(x,y)在区域D上可积，则其积分值与区域D的分法无关，我们用平行于坐标轴的直线网来划分区域D．故在直角坐标系下D因此在直角坐标下面积元素为从而在直角坐标系下二重积分可表示为下面我们利用二重积分的几何意义,推导二重积分在直角坐标系下的计算法．且函数、在区间上连续．利用计算“已知平行D截面面积立体的体积”的方法，求其体积．因此上式右端称为先对y,再对x的二次积分.利用计算“已知平行截面面积立体的体积”的方法,求其体积．先关于y，再关于x的二次积分：类似地，如果积分区域D为：此时可将二重积

2、分化为：先对x，再对y的二次积分．由前面的讨论可知：对于二次积分而言有：积分下限≤积分上限，且外层积分限为常数．此时我们称积分区域D为X-型区域．积分区域D称为Y-型区域．那么若D为如图所示区域，从而有则必须将它分割．特别地，若D为矩形区域：如果此时还有解先画出积分区域D的图形，再根据D的图形选择积分次序，求出区域边界的交点坐标．方法一、将二重积分化为先对y，再对x的二次积分．将二重积分化为二次积分，方法二、将二重积分化为先对x，再对y的二次积分．由此例可知，二重积分计算的难易程度与二次积分积分区域的形状是选择积分次序的因素之一．的积分次序的选

3、择有关．解解方法一、将二重积分化为先对y,方法二、将二重积分化为先对x,再对y的二次积分．所以被积函数的特点是选择积分次序的因素之二．(×)再对x的二次积分．解根据二次积分的积分限，画出对应的二重积分的积分区域，解根据二次积分的积分限，画出对应的二重积分的积分区域，解解解先去掉绝对值，如图或者利用对称性解二、极坐标计算法首先我们介绍极坐标系设积分区域为D，在极坐标系下，我们用将积分区域为D任意分成则每个小区域的面积所以极坐标系下面积元素从而在极坐标系下二重积分可表示为极坐标系下积分区域的面积曲线n个小区域下面我们介绍在极坐标系下怎样将二重积分化

4、为二次积分．如果积分区域如图所示则同理如果积分区域如图所示也有如果区域如图所示则如果区域如图所示则解(1)在直角坐标系下(2)在极坐标系下解例11解例12解例13解解例15解解此积分在直角坐标系下不能计算.解即有从而有如积分区域为圆形、扇形、圆环等，一般地，如果积分区域的边界方程用极坐标表示比较方便，且被积函数含有可考虑用极坐标计算法．(A)(B)(C)(D)解(A)(B)解(C)(D)