重积分的概念与性质(VII)

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1、§7.1二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题复习和总结：定积分（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？（3）如何计算定积分？定积分:(1)求非均匀分布在区间上的量的求和问题要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一段曲线曲线积分一片曲面曲面积分被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间(2)“分割,取近似,求和,取极限”柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积

2、=？【特点】曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例【解法】类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”【步骤如下】②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积④取极限：问题的特点：(1)解决问题的步骤(2)“分割,取近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素2.【对二重积分定义的说明】(

3、1)若f(x,y)在有界闭区域D上可积，则f(x,y)在D上有界。3.【二重积分的几何意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.［几个特殊结果］根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为即【性质1】【性质2】（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分【线性性质】线性性质可以推广至有限个函数的情形。【性质3】对区域具有可加性【性质4】若为D的面积，【性质5】若在D上特殊地则有比较性质（请从几何上给予解释）【性质6】【性质7

4、】（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）【几何意义】曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积二重积分的定义二重积分的性质（7条）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结