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1、第九章重积分Chapter9MultipleIntegrals9.1二重积分的概念与性质(TheConceptofDoubleIntegralsandItsProperties)一、二重积分的概念(DoubleIntegrals)定义(二重积分的定义)设D是平面的有界闭区域,是定义在D上的函数。将D任意分成n个小区域,它们的面积用表示。在每个上任取一点，并作和。假设存在一个确定的数满足：任给，存在，使得当各小区域的直径中的最大值小于时，就有不管区域D的分法如何，的取法如何。这样就称f在D上可积，I称为f在D上的二重积
2、分，记作或Definition(TheDoubleIntegral)LetDbeaboundedclosedregioninthe巧1planeandfafunctiondefinedonD.PartitionDarbitrarilyintoｎsubregions，whoseareaisdenotedbyChoosearbitrarilyapointinandthenformthesum。SupposethatthereexistsafixednumberIsuchthatforany,thereexistsasuc
3、hthatifthelengthofthelongestdiameterofthosesubregionsinapartitionofDislessthan,then，nomatterhowthepartitionisandhowthosepointsarechosenfromThenissaidtobeintegrableoverDandIisthedoubleintegralofoverD,written,or二、二重积分的性质(PropertiesofDoubleIntegrals)性质1两个函数和(或差)的二
4、重积分等于它们二重积分的和(或差),即.Property1Thedoubleintegralofthesum(ordifference)oftwofunctionsisequaltothesum(ordifference)oftheirdoubleintegrals,thatis性质2被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面,即,若k为常数。Property2Theconstantfactorintheintegrandfunctioncanbetakenoutofthedoubleintegral, thatis,
5、ifkisaconstant.性质3二重积分关于积分区域具有可加性,即如果被分成两个区域和,的面积为0,则有.Property3Thedoubleintegralisadditivewithrespecttotheintegrationregion,thatis,ifisdividedintotworegionsandandtheareaofis0,then性质4若对任意，有，则有。Property4Ifforevery,then.性质5若对任意,有，则。Property5Ifforevery,then.性质6假设M
6、和m分别是函数f在上的最大值和最小值,则，其中是区域的面积。Property6SupposethatMandmarerespectivelythemaximumandminimumvaluesoffunctionfon,then,whereistheareaof.性质7(二重积分的中值定理)若在闭区域上连续,则在上至少存在一点使得，其中是区域的面积σProperty7(TheMeanValueTheoremforDoubleIntegral)Ifiscontinuousontheclosedregion,thenth
7、ereexistsatleastapointinsuchthat,whereistheareaof.9.2二重积分的计算法(EvaluationofDoubleIntegrals)一、直角坐标的二重积分(DoubleIntegralsinRectangularCoordinates)定理设在xy平面上的有界闭区域D上连续,(1)若区域由和所给出，其中是上的连续函数，则。(2)若区域由和所给出，其中是上的连续函数，则。TheoremLetbecontinuousonaboundedclosedregioninthe-p
8、lane.(1)Ifisgivenbyand,wherearecontinuousfunctionsofon,then(2)Ifisgivenbyand,wherearecontinuousfunctionsofon,then二极坐标下的二重积分(DoubleIntegralsinPolarCoordinates)如果积分区域由极坐标形式给出，
