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《定积分的概念与性质(VII)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章一元函数积分学不定积分(第四章)定积分(第五章)定积分定积分的应用(第六章)(含反常积分)一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算机动目录上页下页返回结束§5.1定积分的概念及性质第五章四、定积分的性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似.在第i个窄曲边梯形上任意取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似
2、代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)求和(求近似和).4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每个小时间段上物2)近似.得已知速度机动目录上页下页返回结束n个小段体经过的路程为3)求和(求近似和).4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊和式的极限机动目录上页下页返回结束二、定积分定义任意分割任意取取极限若此极限存在
3、,则称该极限值为f(x)在[a,b]上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在[a,b]上有界,作积求和积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即机动目录上页下页返回结束定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动目录上页下页返回结束定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取机动目录上页下页返回结束
4、在[0,1]上连续,所以可积注目录上页下页返回结束例2.求下列极限:P269总习题五第3题解:机动目录上页下页返回结束(3)…三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端机动目录上页下页返回结束规定证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是机动目录上页下页返回结束当a,b,c的相对位置任意时,则有机动目录上页下页返回结束例如5.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.证:即6.设则机动目录上页下页返回结束7.定积分中值定理则至少存在一点使证:
5、则由性质6可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7目录上页下页返回结束说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.机动目录上页下页返回结束积分中值定理对因内容小结1.定积分的定义—特殊和式的极限2.定积分的性质性质7(定积分中值定理)机动目录上页下页返回结束连续函数在区间上的平均值公式注:可进一步修改为思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或机动目录上页下页返回结束2.用定积分表示下述极限:解:机动目录上页下页返回结束3.P235题34.P236题13(4)题13(4)解:设即机动目录上页下页返回结束
6、但(P2337(2))在[0,1]上严格单增机动目录上页下页返回结束若在[a,b]上连续,证明且若(P236第12题)则(1)且若则(2)且若则(3)证:(1)(反证)设则存在x0使得f(x0)>0不妨设则存在x0的某邻域U(x0,δ),当x属于U(x0,δ)时,f(x)>机动目录上页下页返回结束与矛盾.所以且若则(2)由(1)反证.首先若由(1)得,矛盾,所以…(3)令F(x)=g(x)－f(x)由(1)得,F(x)=g(x)－f(x)≡0即g(x)=f(x)．机动目录上页下页返回结束定积分中值定理(推广)证明:则至
7、少存在一点若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且保号使得,(保号的保持在积分内)(P270第14题)证:不妨设g(x)≥0,若g(x)≡0则命题显然成立,若g(x)≡0,则设f(x)在[a,b]上的最小(大)值为m(M).mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)在[a,b]上积分得,再由介值定理得…作业P2352(2),810(4);12(3);13(5)第二节目录上页下页返回结束
