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重积分的计算法—球面坐标

重积分的计算法—球面坐标

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1、7.3.4利用球面坐标计算三重积分一、球面坐标M(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyzo1M(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyzo2r=常数，即以原点为心的球面。=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。=常数，即过z轴的半平面。zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyo3zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyo④球面坐标下的体积元素4为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面r=常数，=常数，=常数把积分区域分成许多小闭区域

2、。考虑由r,,各取得微小增量dr,d,d所成的六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。xyzodrddrrd5xyzodrdrd经线方向的长为rd,这就是球面坐标系中的体积元素。纬线方向的宽为rsind,于是，小六面体的体积为dr向径方向的高为dr。6二、三重积分的球面坐标形式计算三重积分，一般是化为先r，再，最后的三次积分。7例如，半径为R的球体的体积8xyzo9xyz1o10xyzo211xyzo212xyzo213小结三重积分的计算方法：基本方法：化三重积分为三次积分计算。关键步骤：

3、(1)坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限14柱形体域锥形体域抛物体域柱面坐标长方体四面体任意形体球面坐标球形体域或其中一部分直角坐标坐标系适用范围体积元素变量代换15

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