利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

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1、一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的三重积分球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0r<，0q2，

2、M(x,y,z)xyq三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标．rr0一、利用柱面坐标计算三重积分坐标面rr0，qq0，zz0的意义：xyzOqq0zz0r0q0z0设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0r<，0q2，

3、,z)xyqx2y242解闭区域W可表示为：r2z4，0r2，0q2．于是zx2y2或zr24xyzO例1二、利用球面坐标计算三重积分这样的三个数r、j、q叫做点M的球面坐标．设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r、j、q相对应，其中r为原点O与点M间的距离，j为有向线段与z轴正向所夹的角，q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角．这里r、j、q的变化范围为0r<，0j<，0q2．xyzOzPM(x,y,z)xyqrj坐标面rr0，jj0，qq0的意义：xy

4、zOrqj点的直角坐标与球面坐标的关系：球面坐标系中的体积元素：dvr2sinjdrdjdq．柱面坐标系中的三重积分：xyzOzPM(x,y,z)xyqrj例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．xyzOa2a例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．解该立体所占区域W可表示为：0r2acosj，0ja，0q2．于是所求立体的体积为xyzOa2arj．例3求均匀半球体的重心．解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a．axyzOqjr显然，重心在z

5、轴上，故`x`y0．解取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a，例4求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量．则球体所占空间闭区域W可用不等式x2y2z2a2来表示．Iz所求转动惯量为xyzOa