9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

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1、§9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。一、利用柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。规定的取值范围是，，柱面坐标系的三组坐标面分别为,即以轴为轴的圆柱面；,即过轴的半平面；,即与面平行的平面。点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式(1)2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。考察由各取得微小

2、增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为这便是柱面坐标系下的体积元素,并注意到(1)式有(2)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。3、用柱面坐标表示积分区域的方法(1)、找出在面上的投影区域,并用极坐标变量表示之；(2)、在内任取一点,过此点作平行于轴的直线穿过区域,此直线与边界曲面的两交点之竖坐标(将此竖坐标表示成的函数)即为的变化范围。【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式球面与三坐标面所围成

3、的立体且位于第一卦限内的部分。由锥面与平面所围成的立体。在面上的投影区域为,其极坐标下的表示形式为在的变化范围是,即故在面上的投影区域为,其极坐标下的表示形式为在的变化范围是即故【例2】用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。解:二、利用球坐标计算三重积分1、球面坐标如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。其中：为原点到点的距离；为有向线段与轴正向所成夹角；为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面上的投影点。规定的取值范围为,,不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为(3)2、球面坐标系的特点

4、,是以原点为心的球面；,是以原点为顶,轴为轴的圆锥面；,是过轴的半平面。粗略地讲,变量刻划点到原点的距离,即“远近”；变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”；变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。3、三重积分在球面坐标系下的计算公式用三组坐标面,,,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为这就是球面坐标系下的体积元素。由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有(4)(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。(4)式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分

5、来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。4、积分区域的球面坐标表示法积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。实际中经常遇到的积分区域是这样的是一包围原点的立体,其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有例如:若是球体,则的球坐标表示形式为曲面的球坐标方程为于是【例3】求曲面与曲面所围成的立体的体积。解:的图形为下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。(1)、在面的投影区域包围原点,故变化范围应为；(2)、在中可由

6、轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为；(3)、在内任取一值,作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为及。因此,故也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。