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《重积分的概念与计算(III)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章重积分 第三节三重积分的概念与计算问题的提出：设空间立体V的密度函数为求立体V的质量M为了求V的质量，仍采用：分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.首先把V分成n个小块V1,V2,...,Vn,Vi的体积记为一、三重积分的概念f(x,y,z)，其次在每个小块Vi上任取一点则Vi的质量然后对每个小块Vi的质量求和：最后，取极限其中三重积分的定义方法1：“先一后二”法（也称为投影法）二、在直角坐标系下计算三重积分如图，则注意例1设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离
2、的平方,求物体的质量M.解即把一个三重积分化为三个定积分的积.当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容易安排例2计算三重积分其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解:作闭区域Ω,如图示.把Ω投影到xoy平面上，得到区域Dxy三角形闭区域OAB,直线OA,AB,OB的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以oxyzC(0,0,1)B(0,1/2,0)A(1,0,0)在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴的直线,该直线先通过平面z=0,再通过平面z=1-x-2y.于是立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则
3、其体积为占有空间有界域V的立体的体积为解方法2：“先二后一”法（或称截面法）解原式注：由上面两个例题可知，当被积函数只是单变量三、在柱面坐标系下计算三重积分规定：柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．如图，柱面坐标系中的体积元素为柱面坐标系中的三重积分计算也是化为三次积分进行计算.化为三次积分时，积分限的确定是根据在积分区域中的变化范围来确定的.例如积分区域在xOy平面上的投影区域为D（用极坐标表示），且可表示为解知交线为解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图，例8设有一个质量均匀分别的截头直
4、圆柱体,其下底面在xoy平面上,上顶面在平面x+y+z=3上,侧面为圆柱面x2+y2=1.求其质量m.解:设密度函数ρ(x,y,z)=μ,积分区域为截头圆柱体,我们采用柱面坐标来计算,Ω在xoy平面的投影D为圆x2+y2≤1.在极坐标下，x+y+z=3x2+y2=1333zxy二、利用球面坐标计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系为规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标系中的体积元素为如图，例10计算三重积分rθφxzy其中Ω是球形闭区域:x2+y2+z2≤2z.立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有
5、界域V的立体的体积为解补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解五、三重积分换元法例14求其中V为由与所确定的区域.解作广义球坐标变换于是三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标思考题思考题选择题:
