重积分的概念及计算

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1、解所求体积为例6设是(y,z)坐标平面上的圆盘绕z轴旋转一周得到的区域，试求体积V.定义设f(xyz)是空间有界闭区域上有定义将任意分割成n个互不重叠的小区域在上任取一点作积分和其中　　表示小区域的体积若对区域　的任意一种分割法以及中间点　　　　的任意取法，积分和的极限总存在，则称此极限为　　　　在区域　上的三重积分，记作或7-3三重积分的概念与计算当极限存在时,称在区域上可积.三重积分中的各部分的名称————积分号————积分区域f(xyz)——被积函数f(xyz)dv—被积表达式dv————体积元素xyz———积分变量有界闭区域上

2、的连续函数或分块连续函数在上是可积的.若一物体占有空间位置，又其体密度为则该物体的质量为当f(x,y,z)=1,V表示的体积，则1在直角坐标下的计算（１）积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是曲面及　　　在　上连续其中在　上连续则穿入点穿出点穿入点的竖坐标：穿出点的竖坐标：先将x,y看作定值，将f(x,y,z)看成z的函数，在上积分，其结果是x,y的函数，记为然后计算F(x,y)在D上的二重积分于是有公式把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分或累次积分.穿入点穿出点其中为三个坐标补例计算三重积分所围成的闭区域.解面及平面例1求三重积分解D（2）先二重积分后定积分的方

3、法一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设积分区域为{(xyz)

4、(xy)Dzazb}其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则即所谓的“先二后一”法.说明：例2求三重积分解即DO判定是否可以用此方法的具体步骤是：根据积分区域和被积函数的特点，如果用垂直于某坐标轴（如z轴）的平面去截区域得截面面积是该坐标轴（如z轴）的函数，而被积函数也仅是该坐标变量（如z）的函数，或可化为仅是该坐标变量（如z）的函数，则有同理得:同理得:同理得:例3求三重积分解于是同理故空间点的柱面坐标2在柱坐标下的计算公式设M(xyz)为空间

5、内一点并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P(r)则这样的三个数r、、z就叫做点M的柱面坐标这里规定、、z的变化范围为0r<02

6、的投影点的极角计作(),则数组()与点P有一一对应关系，称()为点P的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中例7求三重积分解例8求三重积分解4.在一般变量变换下的计算公式定理3设函数在有界闭区域上连续,又设变换在上连续,有连续的偏导数,将一一对应地变到,且变换的雅可比行列式则球坐标变换的雅可比行列式柱面坐标变换的雅可比行列式因此，前面讲的球坐标及柱面坐标计算三重积分的公式都是公式（7.10）的特例.广义球坐标变换例9求三重积分解得到: