重积分的概念及性质

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1、第9章重积分2问题的提出二重积分的概念二重积分的性质小结思考题作业doubleintegral9.1二重积分的概念与性质第9章重积分柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.１．曲顶柱体的体积一、问题的提出步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取小区域，曲顶柱体的体积分割求和取极限取近似5(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2)取近似第i个小曲顶柱体的体积的近似式(用表示第i个子域的面积).将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点6(3)求和即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限作λ)

2、趋于零,求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记上述和式的极限即为曲顶柱体体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量分割求和取极限取近似二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：连续函数一定可积11(2)3.二重积分的几何意义(3)(1)的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其他的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那么，f(x,y)在D上柱体体积的负值;柱体体积;当f(x,y)在D上的若干部分区域上是正的,

3、12例设D为圆域二重积分=解上述积分等于由二重积分的几何意义可知,是上半球面上半球体的体积:RD?它的面密度平面薄片D的质量即在薄片D上的二重积分,二重积分的物理意义？？在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为三、二重积分的性质复习：定积分的性质（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2性质3性质4性质5性质5的推论(1)性质5的推论：（2）性质6性质7（定积分中值定理）积分中值公式性质2当为常数时，性质1（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若

4、在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解解解解二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结29选择题(A)(B)(C)(D)提示:B设f(x,y)是有界闭区域D:上的连续函数,不存在.利用积分中值定理.30利用积分中值定理,解即得:由函数的连续性知,显然,其中点是圆域内的一点.31思考题1将二重积分定义与定积分定义进行比较,被积函数为定义在平面区域上思考题解答相同点定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不同点定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在

5、区间上的一元函数,而二重积分的积分区域为平面区域,的二元函数.找出它们的相同之处与不同之处.32思考题2二重积分的几何意义是以为曲顶,D为底的曲顶柱体体积.(是非题)非.33作业习题9.1(375页)