重积分及其应用第二节二重积分的计算

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1、第二节二重积分的计算一利用直角坐标系计算二重积分二利用极坐标系计算二重积分三二重积分的换元法1一利用直角坐标系计算二重积分如果区域D为：函数其中在区间上连续，区域。则称D为型型区域的特点：轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.穿过区域且平行于型区域D：DD2设曲顶柱体的底是型区域D顶为连续函数xzyD对于任意固定作与轴垂直的平面，相应曲顶柱体所得的截面面积由于截面为曲边梯形，所以3无论函数符号如何，只要积分区域D为公式总成立。D先对后对的二次积分4积分区域D：D对于既不是型区域，又不是型区域，可以用几条辅助线将区域分成若干个型区域，或型区域的并来计算。如图先对后对的二次积分5例1.计

2、算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作型区域,则解法2.将D看作区域,则6例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则7解法28例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.型区域:9例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为型区域,则10解11例6计算二重积分其中为解用分积分区域12例7计算其中D由所围成.解由于为奇函数，积分区间是所以13说明如果函数为的奇函数积分区域关于轴对称则如果函数为的偶函数积分区域关于轴对称，则

3、其中14例8计算其中D由所围成.解:令(如图所示)15例9求由两直交圆柱面所围立体的体积。解第一象限部分立体如图所示，设其在面投影为D由对称性得16二利用极坐标计算二重积分在极坐标下如何计算用同心圆常数，半直线常数划分积分区域D取17...极坐标下面积元素18设则特别极坐标下的二次积分1920解21例11计算二重积分其中为解22例12将二重积分化为极坐标下二次积分1）是围成。解23例12将二重积分化为极坐标下二次积分2）解24例13计算二重积分其中D为区域解由对称性得25例14计算二重积分其中解26例15计算广义积分解设则其中记27所以所以由于所以28例16求部分的体积。解第一象限部

4、分立体如图设其在面投影为D由对称性得29三二重积分换元法定积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,证明略30例如,直角坐标转化为极坐标时,31例17计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则32例18计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令则33例19.试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.34