第二节 二重积分的计算法

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1、*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第九章1一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则2当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于3(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则说明4例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法

2、1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则5例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则6例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.7+89例6.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则101112例9.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,131415对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小

3、区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为16即17设则对18特别,对19若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)20例1.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.21注:利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例1的结果,得①故①式成立.2223解24解25解26解27例7计算二重积分，其中D是由圆周及直线在第一象限内所围成的闭区

4、域。解：积分区域D为：采用极坐标，则积分区域D为于是，所求的二重积分为：28例8.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知29定积分换元法*三、二重积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,30证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则31同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为32因此面积元素的关系为从

5、而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,33例9.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则34练习题35363738练习题答案39练习题2404142练习题答案24344