第二节二重积分的计算法

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1、第二节二重积分的计算法一问题的提出二利用直角坐标计算二重积分三利用极坐标计算二重积分四小结与思考判断题(Calculationofdoubleintegral)8/26/20211按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的.那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍:一问题的提出8/26/20212二、利用直角坐标计算二重积分二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此,先介绍：1、积分域D:8/26/20213如果积分区域为：（1）、X-型域［X－型］放大图象X型区域的特点：a、平行于y轴且穿

2、过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；b、8/26/20214（2）、Y-型域：［Y－型］放大Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、8/26/202152、X-型域下二重积分的计算:由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形面积为：8/26/20216yZ8/26/20217注:若ƒ(x,y)≤0仍然适用。注意:1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域先Y后X;3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：8/

3、26/202183、Y-型域下二重积分的计算：同理：［Y－型域下］8/26/202191）积分次序:Y-型域,先x后Y;2）积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于X轴的射线穿插区域。注意:8/26/202110注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。4、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型,确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.8/26/202111解：［X－型］8/26/202112［Y－型］8/26/202113

4、例2解：X-型8/26/202114例3解：（如图）将D作Y型-128/26/2021155、若区域为组合域，如图则：06、如果积分区域既是X－型，又是[Y－型],则有8/26/202116解：积分区域如图xyo231原式8/26/202117解：原式8/26/202118例6解：先去掉绝对值符号，如图8/26/202119缩小图象［X－型］7小结8/26/202120返回［Y－型］8/26/202121三利用极坐标系计算二重积分当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计

5、算问题。8/26/2021221直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：8/26/202123（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：8/26/2021242极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。8/26/202125（1）区域如图1具体地（如图）图18/26/202126（2）区域如图2图

6、28/26/202127（3）区域如图3图38/26/202128（4）区域如图4图48/26/202129解8/26/202130解8/26/2021318/26/2021328/26/202133解8/26/2021348/26/202135解在极系下：（如图）8/26/202136o2aD8/26/202137解8/26/202138计算二重积分应该注意以下几点：四小结先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分

7、。根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。最后，计算二次积分。由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。8/26/202139思考判断题如果一个二重积分的积分区域既是型又是型，那么一定能按8/26/202140