第二节二重积分的计算[1]

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1、第二节二重积分的计算教学目的：使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法教学重点：将二重积分化为二次积分教学过程：一、利用直角坐标计算二重积分先介绍区域的表示：X--型区域:D:j1(x)£y£j2(x),a£x£b.Y--型区域:D:y1(x)£y£y2(x),c£y£d.混合型区域:设f(x,y)³0,D={(x,y)

2、j1(x)£y£j2(x),a£x£b}.此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.对于x0Î[a,b],曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间[j1(x0),j2(x0)]为底、以曲线z=f(x0,y)

3、为曲边的曲边梯形,所以这截面的面积为.根据平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体体积为.即V=.可记为.类似地,如果区域D为Y--型区域:D:y1(x)£y£y2(x),c£y£d,则有.例1.计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.解:画出区域D.方法一.可把D看成是X--型区域:1£x£2,1£y£x.于是.注:积分还可以写成.解法2.也可把D看成是Y--型区域:1£y£2,y£x£2.于是.例2.计算,其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域.解画出区域D,可把D看成是X--型区域:-1£x£1,x£y£1.于是.也可D看成

4、是Y--型区域:-1£y£1,-1£x

5、0£y£,0£x£r}为底,以顶的曲顶柱体.于是.二.利用极坐标计算二重积分有些二重

6、积分,积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量r、q表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.按二重积分的定义.下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域,小闭区域的面积为:,其中表示相邻两圆弧的半径的平均值.在Dsi内取点,设其直角坐标为(xi,hi),则有,.于是,即.若积分区域可表示为j1(q)£r£j2(q),a£q£b,则.讨论:区域如下图,如何确定积分限?..例5.计算,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.解在

7、极坐标系中,闭区域D可表示为0£r£a,0£q£2p.于是.注:此处积分也常写成.利用计算广义积分:设D1={(x,y)

8、x2+y2£R2,x³0,y³0},D2={(x,y)

9、x2+y2£2R2,x³0,y³0},S={(x,y)

10、0£x£R,0£y£R}.显然D1ÌSÌD2.由于,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式.因为,又应用上面已得的结果有,,于是上面的不等式可写成.令R®+¥,上式两端趋于同一极限,从而.例6求球体x2+y2+z2£4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.解由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍.,其中

11、D为半圆周及x轴所围成的闭区域.在极坐标系中D可表示为0£r£2acosq,.于是.