重积分二重积分的计算

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1、第二节二重积分的计算方法第二节二重积分的计算方法一.在直角坐标系中的计算方法化成两次定积分在直角坐标系中,用平行于坐标轴的直线将积分区域D分成n份小矩形,可知:ddxdyf(x,y)df(x,y)dxdyDD利用几何意义--曲顶柱体的体积研究其计算方法:yy(x)21.设D:axb,y1(x)yy2(x),X型域D将曲顶柱体看作已知平行截面面yy(x)积的立体,利用定积分计算.1ab在D内任取一点x,作平行于yoz面z的截面.曲边梯形A(x)yy2(x)A(x)f(x,y)dyy1(x)by2(x)xV[f(x,y

2、)dy]dxaxbay1(x)f(x,y)dxdyD先对y后对x的二次积分2.设D:cyd,x1(y)xx2(y),Y型域同理可得:ddx2(y)[f(x,y)dx]dyxx(y)D()cx(y)1xx2y1c先对x后对y的二次积分注:(1).如果D既是X型域又是Y型域,则by2(x)dxf(x,y)dyay1(x)(2).如果D既不是X型域又不是Y型域,则用平行于坐标轴的直线将D分成若干子域,利用积分的可加性进行计算.例如:D2D1D3选择积分域和积分次序是计算的关键分块越少越好积分要易于计算例1.求xyd，其中D

3、(x,y)1x1,0y2D解一：xyd2D12xydxdy1dx0xydy-11D2111122(xyy)dx(2x2)dx(x2x)41211021解二：xyddyxydx401D2例2计算xydxdyD由y1,x2,yx围成.DX型域解一:D:1x2,1yx,y=x2x22xydxdy1dx1xydyD22y2xx[]dx11212422xx29()dx12215Y型域解二:D:1y2,yx2,42228yy2922(

4、)dyxydxdy1dyyxydx13315DxydxdyDyxy2x例3计算由2,围成.D2解一:D:1y2,yxy2,Y型域2y22xydxdydyxydx1y2D12y22yxdy1y22-1122545[y(y2)y]dy218解二:如果选择X型域,需要将D分成两部分,显然复杂.分块越少越好siny2例4计算dxdyD由yx,yx围成.yDsiny如果先对y积分,dy无法进行(1,1)y2yx因此先对x积分,yxsiny1ysinydxdydydxy0

5、y2yD1(sinyysiny)dy01sin1积分要易于计算例5.设D是由点O(0,0),A(1,2)和B(2,1)为顶点的三角形区域,求xdxdy.Dx解直线OA,OB和AB的方程相应为y2x,y和y3x2过点A向x轴作垂线AP,它将D分成D和D两个区域,12xdxdyxdxdyxdxdyDD1D212x23x0xdxxdy1xdxxdy22132232xdx3xxdx0212131321323x

6、xx.012222例6.交换积分次序:1y(1).dyf(x

7、,y)dx10yxyxy1xdxf(x,y)dy0x22x2x02(2).dx2f(x,y)dydx2f(x,y)dy20002x12x122yyy220dy2y2f(x,y)dx-220二.在极坐标系中的计算方法在极坐标系中,设D的边界与过极点的射线相交不多于两点,用过极点的射线和以极点为圆心的圆周将D分成若干子域,如图可知:dddf(x,y)df(cos,sin)dddDDd化成两次定积分d基本类型:D:,1()2()()

8、2()1D2()f(cos,sin)ddd()f(cos,sin)d1D注:(1).只研究先对后对的积分次序;(2).如果D是曲边扇形:,0()()f(cos,sin)ddd0f(cos,sin)dD()(3).如果D包含极点:02,0()2()f(cos,sin)dd0d0f(cos,sin)dD22D:a2x2y2b2例6计算(xy)dxdyD

9、D:02,ab2b222(xy)dxdy0da