重积分__二重积分的计算.ppt

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1、重积分第二节二重积分的计算方法第二节二重积分的计算方法一.在直角坐标系中的计算方法在直角坐标系中,用平行于坐标轴的直线将积分区域D分成n份小矩形,可知:利用几何意义--曲顶柱体的体积研究其计算方法:将曲顶柱体看作已知平行截面面积的立体,利用定积分计算.化成两次定积分1.设X型域abDabxxyzA(x)先对y后对x的二次积分在D内任取一点x,作平行于yoz面的截面.曲边梯形2.设Y型域同理可得:先对x后对y的二次积分注:(1).如果D既是X型域又是Y型域,则cdD(2).如果D既不是X型域又不是Y型域,

2、则用平行于坐标轴的直线将D分成若干子域,利用积分的可加性进行计算.选择积分域和积分次序是计算的关键例如:分块越少越好第一次积分要易于计算例1计算由围成.12解一:X型域解二:Y型域例2计算由围成.-12解一:Y型域解二:如果选择X型域,需要将D分成两部分,显然复杂.分块越少越好例3计算由围成.(1,1)如果先对y积分,无法进行因此先对x积分,第一次积分要易于计算例5.交换积分次序:1-2201二.在极坐标系中的计算方法在极坐标系中,设D的边界与过极点的射线相交不多于两点,化成两次定积分用过极点的射线和以

3、极点为圆心的圆周将D分成若干子域,如图可知:r+drr基本类型:D注:(1).只研究先对r后对的积分次序;(2).如果D是曲边扇形:(3).如果D包含极点:例6计算例7计算此题若采用直角坐标系方法无法积分注意:下列情形适合用极坐标计算:(1).积分区域适于极坐标表示,例如:圆,圆环;(2).被积函数形如;(3).用直角坐标系计算不出时.例8.化为极坐标形式:2R0难题解析xOy1-11