二重积分计算.ppt

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1、柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出3.1二重积分的概念与性质第3章重积分播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体

2、的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］3.2二重积分的计算应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相

3、交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解如图,既是型,又是型.若视为型,则原式例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解若视为型,则原积分若视为型,则分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于的积分计算比较麻烦,解例3计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-12)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选例3计算二重积分其中是

4、由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-11)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选例4计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域,且所以解解例6交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为:所以例7交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为所以原式二、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图注：极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图解解例3计算二重积分其中

5、是由所确定的圆域.解如图,可表示为故区域在极坐标下