《二重积分计算》ppt课件

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1、计算二重积分的步骤：1.先画出积分区域的草图；3.合理选择积分的次序；4.确定二次积分上下限———关键既要考虑积分区域类型，又要看被积函数的特点——下节课研究5.计算两次定积分—求出结果2.确定积分区域的类型；回顾在直角坐标系下化二重积分为二次积分的计算公式［X－型］［Y－型］---先对y,后对x的二次积分---先对x,后对y的二次积分原式思考题思考题解答解本章类型题1.在直角坐标系下化二重积分为二次积分的计算公式2.在极坐标系下化二重积分为二次积分的计算公式3.利用对称性计算二重积分4.交换二次积分的次序5.二重积分的几何应用与物理应用第三

2、节二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算方法例题分析第十章二重积分小结内容回顾利用对称型、奇偶性计算二重积分2.利用对称性和奇偶性化简二重积分结论一结论二(-1,1)(1,1)xyoDＤ１例1例2计算二重积分其中积分区域D是由所围成。解积分区域D是关于y轴对称的解交换x和y，被积函数及积分区域都没有改变关于变量的对称性Ｄ１3.极坐标与直角坐标之间的关系o.M(x,y)xyo1.极坐标（补充）1.极坐标（系）概念o.M(r,)M(r,)o三、极坐标系下二重积分的计算=常数，过原点的射线=常数，以原点为中心的圆AA4.曲线的极坐标方程例极坐标表示

3、下列曲线o?极坐标系下的面积元素如何表示？极坐标系下的区域如何表示？2.极坐标系下二重积分的计算在极坐标系下,用同心圆r=常数及射线=常数,分划区域D区域特征如图：极点在积分区域外二重积分化为二次积分的公式(1)积分次序一般是——内下限—内上限过极点O作任一极角为的射线,穿入,从穿出.从二重积分化为二次积分的公式(2)区域特征如图极点在区域D的边界上极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式(3)区域特征如图极点在区域D内P155—12,13,14二重积分在极坐标下的计算公式如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+

4、y2)形式，利用极坐标常能简化计算.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将代入被积函数.(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.(3)将面积元dxdy换为注.极坐标系与直角坐标系下二重积分的相互转化思考:下列各图中区域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围是什么?答:(1)(2)分析：积分限如何确定？显然r呢？极点在D的边界上，所以那就错了不能以为极点O在区域的边界上，就误以为对r的积分下限为0计算计算为极坐标下的二次积分练习化二重积分1解解解解解解伯努利双曲线解的原函数

5、不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.二重积分在极坐标下的计算公式小结解思考题注:利用前面例题得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式①解法二例7xyz3.由曲面所围的立体体积的计算则其体积为曲顶柱体的顶为连续曲面解：例3试计算该市总的税收收入。解：积分区域D如图=14080（万元）P359.例6作业P365T1,2,5（偶数），9，11，下节主要内容：第九章二重积分利用对称性计算二重积分利用极坐标计算二重积分