二重积分及其计算ppt课件.ppt

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1、第8章重积分主要内容本章介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、计算法以及应用.关键词重积分（doubleintegral）计算法(calculativemethod)应用(application)8.1.1二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面且在D上连续.此立体称作曲顶柱体.求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法.其步骤为用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积２．平面薄片

2、的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量定义8.1设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，D任意分成n个小闭区域1sD，L,2sD，nsD，其中isD表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个isD上任取一点),(iihx，作乘积),(iifhxisD，),,2,1(niL=，并作和将闭区域如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分,记为即积分号被积函数积分区域积分和面积元素积分变量被积表达式二重积分定义的几点说明：

3、(2)用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为故二重积分可写为二重积分的几何意义如果被积函数是大于零的，二重积分是柱体的体积.如果被积函数是小于零的，二重积分是柱体的体积的负值．如果被积函数是时正时负的,二重积分是所有柱体体积的代数和.曲顶柱体的体积平面薄片的质量性质１性质２（二重积分与定积分有类似的性质）当为常数时，对积分区域具有可加性8.1.2二重积分的基本性质性质３性质４若为D的面积，若在D上特殊地，因为则有于是性质５设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，AD的面积，则为证明由性质4及性质1和性质3，有设函数),

4、(yxf在闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点),(hx使得性质6证明由性质5，有再根据闭区域上连续函数的介值定理练习1判断练习2估计积分的值，其中的符号.`是8.1.3二重积分在直角坐标系下的计算其中函数、在区间上连续.假定，积分区域为应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法计算。表示以闭区域D为底，z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。过x作平行于yoz面的平面截曲顶柱体。得一个以区间曲线z=f(x,y)为曲边的曲边梯形。为底、ab故其面积从而得曲顶柱体的体积为简记ab如果积分区域为：上式为先上式为先的二次积分，积分区

5、间后的二次积分，积分区间后X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.D3D2D1Oyx如果积分区域既是X-型的，又是Y-型的，则特别则有公式计算的一般步骤：的草图，观察是1先画出积分区域或或是混合型区域，并确定其边界函数表达式2.根据区域的类型和被积函数的特点，选择积分次序.不妨假设积分区域是先对积分，而后对积分.故的积分区间是为确定的积分限，自内任取一点作垂直于轴的直线交

6、区域的边界于两点（自下向上）.这两个交点的纵坐标（与有关）分别作为积分变量的积分下限和积分上限.如果是区域，可以类似处理。计算二重积分的简算法（1）若有界闭区域上的连续函数是关于（或者）的奇函数，而区域关于轴（或者轴）对称，则.的上）半区域.（2）若有界闭区域上的连续函数是关于（或者）的偶函数，而区域关于轴（或者轴）对称，则是区域（或的右（3）若有界闭区域关于直线对称，上的连续函数，则是证明只对（1）来证明.设的奇函数，即是关于由题意不妨设对第一项积分：令变换，则代入原式，知例1计算二重积分.其中是由直线与轴所围成的区域：解积分区域如图所示.看

7、成X-型区域，即区域，于是看成Y-型区域，即也可将区域，于是(2)按先的次序积分，后原式也可按先后的次序，原式计算起来比较麻烦。例2计算解这个二次积分的次序是先后，但是的原函数不能用的初等函数表达，于是要先交换积分次序.此时积分区域为所以原式所围成。例3计算其中是由解积分区域如图所示，按先后的次序，则原式但若按先后的次序，原式例4计算.其中是由及轴所围成.解积分区域如图所示，则（1）（2）选用（2）式计算，于是考虑到的原函数不能用初等函数表达，应D顾被积函数的原函数是否易求，有时甚至需要交说明：对区域选择积分次序时，要同时兼换原来的积分次序。例

8、5若区域是由直线及轴所围成的区域，计算解显然区域关于轴是对称的，被积函数是关于的奇函数，故例6求以为曲顶，矩形区域为底面的曲顶柱体的体积。解由二重积分