函数性质单调性 奇偶性 周期性

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1、函数的性质——单调性、奇偶性、周期性一、单调性定义：任取单调性的判定：1、定义，2、初等函数的加减乘除、3、复合函数，（4、求导）1、初等函数的加减乘除判定（结合函数图象）1）2）3）4）【例1】函数与的图像如下图：则函数的图像可能是f(x)g(x)2、复合函数的单调性【例2】求函数y=log12（4x-x2）的单调区间.【例3】已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围。1、利用定义及抽象函数的性质求单调性，并解决自变量的不等式问题方法：特值法、定义法求证单调性、

2、陪凑【例4】已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(

3、x

4、)＜-2.【例5】、函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.一、奇偶性定义：1）、定义域要求2）、奇函数3）、偶函数【例6】判断下列函数的奇偶性.（1）f

5、(x)=x2-1∙1-x2;(2)f(x)=log2(x+x2+1)(x∈R);(3)f(x)=lg

6、x-2

7、.(4)fx=ex+e-x2(5)fx=ex-e-x2(6)(7f(x)＝ln()总结有哪些函数是奇函数，哪些是偶函数：已知函数的奇偶性，加减乘除运算后新的函数的奇偶性：复合函数的奇偶性：2、抽象函数的奇偶性及应用【例7】已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最

8、值.1、已知奇函数或偶函数的一部分，求整个函数（相关点法初步）【例8】已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式一、周期性定义：哪些函数有周期性：用定义证明周期性【例9】证明：1）若f(x+a)=-f(x),则函数f(x)是以2a为周期的函数;2）若fx+a=±1f(x),则函数f(x)是以2a为周期的函数;3)若fx+a=1+f(x)1-f(x),则函数f(x)是以4a为周期的函数。奇偶性周期性及图像综合：【例10】已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=

9、-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2009］上的所有x的个数.【例11】．设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.【例12】已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=.（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.【例13】1)(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x

10、-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则（）A.f(-25)＜f(11)＜f(80)B.f(80)＜f(11)＜f(-25)C.f(11)＜f(80)＜f(-25)D.f(-25)＜f(80)＜f(11)【例14】已知函数f(x)(x∈R)满足：f(x+1)=f(x)+f(x+2),且f(1)=1,f(2)=2010.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)=______.【例15】定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：1）对任意的x,y∈-1,1时，都有fx+fy=f(x+y1+xy)，2）当x∈-

11、1,0时，有f(x)>0.（1）判断f(x)的奇偶性（2）判断f(x)的单调性（3）求证：