关于无穷小量阶的若干注记

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1、第9卷第9期南阳师范学院学报V01．9NO．92010年9月JournalofNanyangNormalUniversitySep．2010关于无穷小量阶的若干注记邓俊兰(南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061)摘要：无穷小量是极限为零的一种特殊变量，它在微积分中处于十分重要的地位．对无穷小量阶的比较提出了几点注记，并给出了几个定理帮助快速地确定无穷小量的阶．关键词：无穷小量；无穷小的阶；高阶无穷小；低阶无穷小中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1671—6132(2010)09—0081—03在微积分中，我们把以零为极限的变量叫做无合为一条，笔者认为，按照上述定义第

2、二条并不是穷小量，简称无穷小。然而两个无穷小量都是以零多余的．因为，无穷小量阶的比较是指两个无穷小为极限，它们趋于零的速度却可能相同，也可能不量的比的极限，而当两个无穷小量比的极限为0同，我们可以由它们的比值的极限来判断，称为无时，未必有它们比的倒数的极限就为o。，从而有穷小量阶的比较．无穷小量在微积分中占有重要的是比高阶的无穷小量时，未必有是比a低阶的地位，讨论无穷小量趋近于零的速度是有必要的．无穷小量·例如设：si“1am=0，，．8=l~li．+。例如导数就是两个无穷小量之比的极限，数值级数的敛散性就取决于该数值级数的一般项是否是无则有当一0时，是比高阶的无穷小量，但是穷小量，如

3、果是无穷小量还要看它趋近于零的速lira．臣=lim—=lim≠∞因为sin一1，一。。1一。s1‘n——度，它们实质上都需要对两个无穷小量进行阶的比戈sin—较．本文对无穷小量阶的比较提出了几点注记，并在0点的任何去心领域内都有无限个零点，所以当给出了几个定理帮助简便快速地确定无穷小量-+0时，笪：—是无界变量而不是无穷大量的阶．，21s1n一1注记l是比高阶的无穷小量，未必则不是比低阶的无穷小量．等价于是比低阶的无穷小量所以，我们可以由无穷大量的倒数为无穷小一般的高等数学教材。是这样定义无穷小量，而不取零值的无穷小量的倒数为无穷大量得量阶的比较的：出：在同一变化过程中，若lima=

4、。。，必有lim／3／a设在同一变化过程中，、是无穷小量，=0；而若lima=0，未必有lim／3／a=∞．即得以下(1)若lima／fl=0，则称01是比／3高阶的无穷结论：小量，记作=0(p)；在同一变化过程中，若是比低阶的无穷小(2)若lima／卢=∞，则称是比卢低阶的无穷量，一定有口是比高阶的无穷小量，但是是比小量；卢高阶的无穷小量，未必有卢是比低阶的无穷(3)若lima=z(其中0

5、是多两个无穷小量的比较是在它们的比的极限存余的，认为当是比高阶的无穷小量，就意味着在或为无穷大的情况下进行的，如果它们的比的极是比低阶的无穷小量，应该将第一条和第二条限不存在且不为无穷大，那么它们就不能比较．例收稿日期：2010—06—28作者简介：邓俊兰(1981一)，女，陕西宝鸡人，助教，主要从事数学分析教学与研究南阳师范学院学报第9卷如当一。。时，=一1～CI“；同理，一口时，g()～C2(一0)(C：≠：，都是无穷小量，由于0)．当—o。时，它们的比詈=与：sin的极限由复合函数的等价无穷小代换得：—0时,fEg()]～c．[g()]～不存在且不为无穷大，所以与是不能比较的．c

6、，[C(一Ⅱ)]：C。C：(一0)，3注记3比较或确定无穷小量的阶的简即g()]在—n时是(—n)的nm阶无穷便算法小量．证毕．3．1定义注意：(1)当n：m时，不能确定ot+口是(一在同一变化过程中，、JB是无穷小量，0)的m阶无穷小量．例如一0时，+sinx是的1，与是等价无穷小，一阶无穷小量，因为lim[(+sinx)／x]=2≠0，但—●U0，比高阶无穷小，是一sinx是的三阶无穷小量，因为—sinx～X3／6．。。，比低无穷，】、，而且从定理1的(3)知，高阶无穷小量在加法运算l#O，1，∞，与／3是同阶而不等价的无穷小中是不起作用的．limOt=c≠0k>0，则是关于卢的k

7、阶无(2)只有在Ot的阶数大于卢的阶数时(即，pn>m时)才会是(X一。)的无穷小量，因为当／1=m穷小．时，的极限为一非零常数，而当n