无穷小量若干问题的探讨

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1、《当代高教理论研究》2007年第6期无穷小量若干问题的探讨复旦大学数学学院金融数学与控制科学系朱慧敏摘要：通过对无穷小量的进一步探讨，澄清一些模糊认识、常见错误，给出相应的理论分析及推广，对学生掌握等价无穷小量替代方法求极限有着重要意义。关键词：无穷小量，等价无穷小量，反向等价无穷小量，极限无穷小量是以零为极限的变量，而不是一个很小的数。1．无穷小量运算性质中易混淆的是在同一变化过程中，有限多个无穷小量的代数和是无穷小量；有限多个无穷小量的乘积是无穷小量。注意：上述性质中的有限多个，不能改为可列个或无穷多个。即可列个、无穷

2、多个无穷小量的代数和、乘积未必是无穷小量。但是，学生常常犯这样的错误，以为可列个、无穷多个无穷小量的代数和、乘积是无穷小量。不妨举反例说明：可列个、无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量x例1.证明函数当x时，不是无穷小量。x1证明：当x时，x，函数为无穷小量，若将上述无穷小量的性xx质随意推广，就会得出极限为0，即函数当x时，为无穷小量的错误结x论。事实上，对xR,x0，有xxx1，xxxx当x0时，1而lim1x1xxxx1

3、xx所以lim1即函数当x时，不是无穷小量。xxxxxxx当x0时，1而lim1xxx1xx1xx所以lim1即函数当x时，不是无穷小量。xxxx综上所述，函数当x时，不是无穷小量。x2．等价无穷小量替代方法求极限易混淆的是定理1(等价无穷小量代换定理)设(x)～(x)，(x)～(x),且1212(x)2lim存在，则x()(x)2(x)(x)12limlim.x()(x)x()(x)12(x)

4、1意义：计算极限lim比较困难时，可利用等价无穷小量(x)～(x)，12x()(x)1(x)(x)12(x)～(x)，将lim转化为计算极限lim，即对函数的因子作等价12x()(x)x()(x)12无穷小量替换。但必须注意的是，当计算中出现无穷小量相加减时，不能不加思考便用等价量直接替换。tanxsinx例2.求极限limx0sin32x错误解法：当x0时，sinx～x，tanx～x，tanxsinxxx所以，limlim0x0sin32xx0(2x)312xxtanxsin

5、xsinx(1cosx)21正确解法：limlimlimx0sin32xx0(2x)3cosxx08x3cosx16事实上，当x0时，虽然sinx～x，tanx～x，但这省略了关于x的高阶无穷小量部分后得到的等价关系，所以tanxsinx并不等于0，而是tanxsinxxo(x)xo(x)o(x)，更确切地说由Taylor公式得：351325xx3tanxsinxxxxxo(x)3153!5!所以对于代数和中各无穷小量不能随意代换，但

6、是下列几种情况代数和中各无穷小量是可以代换的。学生往往很模糊，不易掌握。定理2设limf(x)lim(x)limg(x)lim(x)0.x()x()x()x()11g(x)g(x)(1)若f(x)～(x)则lim[1f(x)]lim[1(x)]x()x()11g(x)(x)(2)若g(x)～(x)则lim[1f(x)]lim[1f(x)]x()x()11g(x)(x)(3)若f(x)～(x)且g(x)～(x)则lim[1f(x)]lim[1(x)]x()x(

7、)意义：使求满足定理2条件的幂指函数的极限得以简化。12ln(1x)例3.求极限lim(cos2x)x01121ln(1x2)222解：lim(cos2x)lim[1(1cos2x)]xlim12x2x2ex0x0x0定理3设limf(x)lim(x)limg(x)lim(x)0且f(x)～(x)，x()x()x()x()g(x)～(x)，(1)(x)与(x)同阶无穷小量，不是等价无穷小量,则f(x)g(x)～(x)(x)(2)(x)与(

8、x)同阶无穷小量，不是反向等价无穷小量,则f(x)g(x)～(x)(x)(x)证明：(1)由已知，设limk(k0,k1)则(x)～k(x)x()(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)因为limlimlimlimx()(x)(x)x()(k1