无穷小量的应用

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1、本科毕业论文题目:学生姓名：学院:专业:班级:指导教师：无穷小量的应用XXX数学科学学院数学与应用数学XXXXXXXXXXXXXXXXXXX教授二O—三年四月引言11无穷小量的基本内容21.1无穷小量的概念21.2无穷小量的性质21.3无穷小量阶的较31.4常用的等价无穷小量42无穷小量在广义积分方面的应用52.1定理推论及证明52.2定理及推论的应用举例63无穷小量在正项级数方面的应用63.1定理及推论及证明63.2定理及推论的应用举例74无穷小量在求函数极限方面的应用84.1无穷小量在求幕指函数极限中的应用84・2无穷小量在求代数和极限屮的应用1

2、04.3无穷小量在求复合函数极限中的应用125结论156参考文献167致谢17无穷小量的应用内容摘要无穷小量是大学数学中最基木的概念z—,具有很好的性质，在判断广义积分，级数的敛散性，特别是在求函数极限的运算小具有很广泛的应用•本文从无穷小量的定义出发，阐述无穷小量的相关概念，介绍无穷小量的冇关性质及定理,同时列举出部分重要的等价无穷小量•通过理论说明与貝体举例相结合的方式展示无穷小量在判断广义积分、正项级数敛散性，求解函数极限方而的应用.关键词：无穷小量函数极限广义积分正项级数TheApplicationofInfiniteSmallAmountA

3、bstract:Theinfinitesmallamountisoneofthemostfundamentalconceptsinthemathematicsofuniversity,whichhasverygoodpropertiesinjudgment.Infinitesmalliswidelyappliedinjudgingthequalityofrestraint-dispersionofthegeneralizedintegralandtheseries,especiallyintheoperationofthelimitofthefunc

4、tion.HereIstartwiththedefinitionoftheinfinitesmallamounttointroduceitssomeimportantcharacteristics.AndIillustrateitsapplicationofthelimitofthefunctionbyspecificallylistingelevenpairsofthecommoninfinitesmallamountofequalvalue.Keywords:infinitelysmallamount;thelimitofthefunction;

5、generalizedintegral;positiveseries引言（绪论）无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性的概念•对于无穷小量应用的研究和推广，是现今数学领域的一个引人注目的课题•无穷小量无论是在高等数学中还是在专业数学中都是一个重要的概念，占有很高的地位•本文主要介绍无穷小量（概念、性质、定理）在微分领域的诸多应用和推广.1无穷小量的基本内容1.1无穷小量的概念1.在收敛数列中，我们称极限为0的数列为无穷小量，例如数列｛丄｝,｛単｝都nn+1是无穷小量•要注意,无穷小量是一个变量，而不是一个非常

6、小的量.2.设/在某t/°(x0)内有定义若lim/(x)=0,则称/为当XTX。时的无穷小量.3•在柯西借助于严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量•其本质是：无穷小量是一个变量，它在自己的变化过程中，就其绝对值而言，可以小于任何给定的止数e,或者说它可以无限地接近于0.综合以上：极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).lim兀”=0,lim/(x)=0,lim/(x)=0,limf(x)=0lim/(x)=0,limf(x)=0,limf｛x)=0.X—>00X—>+00A—>-004.注意：(1)这里指极限，包括数列极限和六种形

7、式的函数极限；(2)无穷小量是相对某个极限过程而言；(3)无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数；(4)数0可视为无穷小量，但无穷小量不一定是0.1.2无穷小量的基本性质由无穷小量的定义我们可以立刻推得如下性质性质1在自变量的同一变化过程屮，两个无穷小量的代数和仍是无穷小量.证明：设Q及0是当XT8时的叨个无穷小量,/£〉0,则

8、>0,弘>0,使得当卜

9、〉y时恒<

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12、；当卜

13、〉他时恒有

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16、；取W=max{M,N?},当卜

17、>N时,恒有Q±0

18、S问+10

19、<*+彳=£,，Q±0—>0（斤一>00）性质2有界变量与无穷小量的乘积是无

20、穷小量.证明：设函数讥兀)在0<

21、x-x0

22、0,使nu(x)