欧拉关于无穷小量的论述.doc

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1、欧拉关于无穷小量的论述   然而，如果我们能够说清什么是数学家们所谓的无限小，那么这种无限的学说就能够获得更好的理解。毫无疑问，任何一个量都可以不断减小，直到它完全消失，化为乌有。但无限小量无非是一个消失的量，因此事实上它将等于零。无限小这一定义是与它的另一种定义即比任意给定量还要小的量相符的。实际上，如果一个量如此小以至于比任一给定量都要小，那么它当然不可能是任何其他量而只能为零；因为如果它不等于零，那就必定能指出一个与它相等的量来，这是与假设矛盾的。对于那些质问何为数字中的无限小量的人，我们的回答是：它事实上等于零。所以在这一概念中并不像通常认为的那样隐藏着这么大的神秘性，这些假

2、想的神秘已使无限小的演算遭受许多人的怀疑。下面我们就来解释这种无限小演算，并将彻底消除那些余留的疑点。   为了说明无限小量确实为零，我们首先需要排除以下异议：为什么不用同样的0号而用特殊的记号来表示无限小量？因为所有的都相等，似乎没有必要用不同的记号来区分它们。确实，任何两个零在这样的意义上相等，即他们伍的差为零，然而却有两种比较方法，一种是算术的，另一种是几何的，所以让我们来看一看它们之间的区别（根据被比较量的来源）：任何两个零的算术比相等，但几何比却并非如此，这一点最好是通过几何比例：２：１＝０：０来理解，其中第四项及第三项都等于零，按照比例的性质，如果第一项是第二项的二倍，那

3、么第三项也将是第四项的二倍。   但这一点在普通算术中也很清楚。众所周知，零被任何数乘都得零，n＊０＝０（＊　表示乘）以及n：１＝０：０。因此，两个量，无论它们的几何比是什么，从算术观点看却有可能始终相等，所以既然两个零可以有任何比率，我认为就应当用不同的记号表示。当我们必须不同的零的几何比时尤其如此。于是无限小演算只不过是不同无限小量的几何比的研究，我们必须使用不同的记号来表示这些无限小量。否则这种研究将会陷入极大的混乱，除此之外，不可能有任何其它更有效的方法。   因此，当我们在无限小量演算中引进一种符号表示，其中以dx记无限小量，则有dx＝０和adx＝０（a是任意有限量）。尽管

4、如此，几何比adx：dx将是有限量即a：１。这就是为什么我们在研究两个无限小量dx和adx（虽然它们都等于零）之比时，不能将它们相互混同的原因。类似，当出现两个不同的无限小量dx和dy时，它们的比也是不定的，虽然其中每一个都等于零。为了研究这样的两个无限小量的比，我们需要借助微分学的全部威力。这种比较的用处，虽然初看并不明显，但必将倍受重视并大放光彩。   既然无限小确实为零，那么十分清楚。当一个有限量加上或减去一个无限小量时，它既不增大也不减小。设a是一个有限量，dx是无限小量，则a＋dx，a－dx和一般的a＋ndx都等于a。于是不论我们考虑的是a±ndx与a之间算术关系还是几何关

5、系，在两种情形我们都得到相等的量。事实上，等量的算术比是显然的，因为若ndx＝０，我们有a±ndx－a＝０。这就清楚的给出了等量的几何比，即：（a±ndx）／a　＝１由此可以得出一条多数人能接受的法则，这就是：与有限量相比，无限小量成为零，因此相对与有限量而言可忽略不计。   这样，认为无限小分析缺乏严格性的反对意见就会不攻自破，因为被忽略不是别的量，而是地道的零。因此我们有充分的权利断言：在这门崇高的科学中，我们完全能够保持最高度的数学严格性，就像我们在古代著作中看到的那样。   因为无限小量dx确实等于零，它定额平方dx^2(x的二次方)，它的立方dx^3及其它任何正数次幂也将等

6、于零，并且与有限量相比它们都一样将成为零。因为dx＋dx^2与dx之比是等量比，不管这种比较是以算术的还是几何的方式进行。前一种比较无可非议，至于几何比较，我们得到：（dx＋dx^2）：dx＝（dx＋dx^2）／dx＝１±dx＝１同样我们将得到：dx±dx^3=dx和一般的dx±dx^（n＋１）（x的n＋１次方）=dx只要n>0，几何比则为：［dx±dx^（n＋１）］：dx＝１±dx。   由于dx^n＝０，这个比应是等量比。因此像通常的幂一样，我们称dx为一阶无限小，dx^2为二阶无限小，dx^3为三阶无限小等等。那么显然高阶无限小相对一阶无限小而言将成为零。附：（1）18世纪分析

7、学的奠基在很大程度上归功于欧拉，欧拉因此被誉为“分析的化身”，欧拉的三部著作——《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》是18世纪分析的标准课本。在《微分学》中，欧拉给出了关于无限小的不同阶零的理论。这一理论虽然在很长时期内未被数学家们理解，但欧拉提倡的形式化方法则为微积分基础的纯粹算术与代数的论证开辟了道路。以上摘录《微分学》中的有关部分》（2）关于无穷小量的理解比较困难。莱布尼茨在这里试图对微分的实质作出解释：微分乃是无限小差。但对无限小量的意义。莱