无穷小量的比较.doc

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1、-------------------------------------------------------------------------装订线-----------------------------------------------------------------------云南省化工高级技工学校教案用纸学科数学第一章函数与极限第八节无穷小量的比较授课班级11分析三、化工九授课时数2节授课时间教学目的了解无穷小、无穷大，以及等价无穷小的概念教学重点和难点无穷小量的比较复习提问教学内容、方法和过

2、程附记第1页§1.8无穷小与无穷大一、无穷小1．定义若　，则称是当时的无穷小．在上述定义中，将换成,以及，可定义不同形式的无穷小.例如:当时，函数都是无穷小.当时，函数都是无穷小.当时，数列都是无穷小.-------------------------------------------------------------------------装订线-------------------------------------------------------------------教案用纸附页教学内容、方法和

3、过程附记第2页2．说明：（1）无穷小离不开自变量的变化，无穷小不是“很小的常数”.除去零外，任何常数，无论它的绝对值怎么小，都不是无穷小.根据极限定义或极限四则运算定理，不难证明无穷小有以下性质:性质1若函数与()都是无穷小，则函数()是无穷小.性质2若函数()是无穷小，函数在的某去心邻域有界，则()是无穷小.特别是，若与()都是无穷小，则函数()也是无穷小.性质3，其中是无穷小.证明只证性质３．必要性，设,令，则，只须证明当时是无穷小量．事实上，因，，当时，有，由定义１，是无穷小．充分性．设其中是无穷小，则．

4、因是无穷小，，当时，有．所以　．-------------------------------------------------------------------------装订线-------------------------------------------------------------------教案用纸附页教学内容、方法和过程附记第3页二、无穷大与无穷小相反的一类变量是无穷大.如果在时，对应的函数的绝对值无限地增大，则称当时，是无穷大.定义2设在的某去心邻域有定义，若对，当时，有,则称函数

5、当时是无穷大,表为或().将定义中不等式改为或,则称函数当时是正无穷大或负无穷大.分别表为或(),或().注意:无穷大不是数，不能把无穷大与很大的数混为一谈.例1证明.证.要使,只须，取，于是，，当时，有．例2证明-------------------------------------------------------------------------装订线-------------------------------------------------------------------教案用纸附页教学

6、内容、方法和过程附记第4页证，要使不等式成立，解得,取,于是，，当时，有三、无穷小与无穷大的关系定理１（i）若函数当时是无穷大，则是无穷小;（ii）若函数当时是无穷小，且，则是无穷大.证只证(ii)，，因为当时，是无穷小，对，当时，有或.即函数当时是无穷大.四、穷小的比较比较无穷小趋近于0的速度，见书表:由表，三个无穷小趋于0的速度有明显差异比快，而比快-------------------------------------------------------------------------装订线----

7、---------------------------------------------------------------教案用纸附页教学内容、方法和过程附记第5页定义设与当时都是无穷小,且.1）若，则称比是高阶无穷小.记为2）若，则称比是同阶无穷小．记为().3)若，则称与是等价无穷小，记为～()．4)若以　（）为标准无穷小，且与（）是同阶无穷小，则称是关于的阶无穷小．例3(1)因，所以～．(2)因所以是关于的二阶无穷小.(3)因所以两者是同阶无穷小..--------------------------

8、-----------------------------------------------装订线-------------------------------------------------------------------教案用纸附页教学内容、方法和过程附记第6页性质：若～，～，存在，则存在，且=.这是因为.这个性质表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小