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1、函数与几何图形华罗庚说：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！一．以函数为背景研究几何图形：例1.已知与x轴交于点A、B,（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，P为对称轴上一点．⑴当△PAC是等腰三角形时，求P点坐标；⑵当△PAC是直角三角形时，求P点坐标；⑶当∠APC＝∠ABC时，求P点坐标；⑷当四边形ACBP是梯形时，求P点坐标；（引伸）⑸当△PAC的周长最短时，求P点坐标；（引伸）⑹当△PAC的面积是４时，求P点坐标；
2、⑺当时，求P点坐标；⑻若Q为线段AB上一点，过Q平行于CD的直线交BC、BD于E、F，当时，求Q点坐标．二．以几何图形为背景研究变量之间的关系：例２.ACBPQED如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间
3、是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．5三．函数问题与几何问题的综合：例３.如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以
4、每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．例4.如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为
5、A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.(1)写出点P的坐标；(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．5练习：1．（海淀10二模23）已知：抛物线（为常数，且）（1）求证
6、：抛物线与轴有两个交点；（2）设抛物线与轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C.①当时，求抛物线的解析式；②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位（>0），同时将直：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?【参考答案：(1)略(2)①②】2.（09海淀一模25）．已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2)，与x轴正半轴交于点D.（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；（2）在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角
7、形；（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC,与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E¢FG.设P（x,0）,△E¢FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.【参考答案：(1)(2)(3)，】3．如图，四边形是等腰梯形，其中，点从点开始，以每秒1个单位的速度向点运动，点从点开始，沿方向，以每秒1个单位的速度向点运动。若点同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为，过点作与，交于点。（1）点到的距离为_________________；（2）求出
8、为何值时，（3）求出为何值时，△为直角三角形．【参考答案：(1)(2)(3)】4.（09朝阳二摸24）将边长OA=8，OC=10的矩形放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y
