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1、一.极限的性质与四则运算法则ESC§1.3极限的性质与四则运算法则二.无穷小量与无穷大量§1.3极限的性质与四则运算法则四.无穷小量的比较三.无穷小量的性质一、极限的性质定理1（唯一性）若极限定理2（有界性）若极限存在，则函数在某个空心邻域内有界。定理3（保号性）若，则在的某空心邻域内恒有。若且在的某空心邻域内恒有则一.极限的性质与四则运算法则存在，则极限值唯一。ESC一.极限的性质与四则运算法则二、设,,则.(1)代数和的极限存在,且(2)乘积的极限存在,且..特别地,有(i)常数因子可提到极限符号的前面,即(ii)若是正整数,有
2、.二、极限的四则运算法则ESC设,,则(3)若,商的极限存在,且.要注意极限的四则运算法则使用的前提条件！一.极限的性质与四则运算法则ESC和的极限=极限的和求例1.解由极限的四则运算法则原式常数因子可提到极限符号之前.由该题计算结果知，对多项式有,一.极限的性质与四则运算法则ESC不能直接用极限的四则运算法则解显然,分子与分母的极限都是0.原式求例2应将分子分母分解因式,约去极限为0的公因子商的极限=极限的商一.极限的性质与四则运算法则例3求解：当时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以得到分
3、子分母同时除以分母的最高次项一.极限的性质与四则运算法则例4求解：当时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以得到分子分母同时除以分母的最高次项一.极限的性质与四则运算法则一般地，当时，有理分式（）的极限有以下结果：练习：求下列极限一.极限的性质与四则运算法则，，．ESC一.极限的性质与四则运算法则解原式例6解：原式例5求ESC一.极限的性质与四则运算法则例7解：原式练习：求下列极限ESC一.极限的性质与四则运算法则答案：ESC二.无穷大量与无穷小量定义1.5若函数 在自变量的某个变化过程中
4、以零为极限，则称在该变化过程中,为无穷小量．简称无穷小．例如，当 时， ， ， 是无穷小量；当 时， 是无穷小量；当 时， ， 是无穷小量．ESC我们经常用希腊字母 ， ， 来表示无穷小量．定理4函数 以为极限的充分 必要条件是： 可以表示为 与一个无穷小量 之和．即其中 ．二.无穷大量与无穷小量ESC二.无穷大量与无穷小量定义1.6若在自变量的某个变化过程程中,函数 是无穷小量,即，则称在该变化过程中，为无穷大量，简称无穷大，记作．ESC二.无穷大量与无穷小量例如，当 时， 是无穷大量；当
5、时， ， 是无穷大量；当时， ， 是无穷大量．当 时， 是无穷小量，而 是无穷大量；当 时， 是无穷大量，而 是无穷小量．这说明无穷小量和无穷大量存在倒数关系．ESC二.无穷大量与无穷小量例8求 ．解先求分母的极限．,先考虑原来函数倒数的极限.ESC二.无穷大量与无穷小量即 是 时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到．ESC三.无穷小量的性质性质1.1有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量．性质1.2有界变量乘无穷小量仍是无穷小量．性质1.3常数乘无穷小量仍是无穷小量．性质1.4无穷
6、小量乘无穷小量仍是无穷小量．ESC例7求 ．解因为 ，所以 是有界变量；根据性质1.2，乘积 是无穷小量．即．三.无穷小量的性质ESC四.无穷小量的比较我们记 ， ， ，它们都是时的无穷小量．但，，．ESC， ， 趋于零的情况11010010001000010.10.010.0010.000120.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.00000001四.无穷小量的比较ESC定义1.7设 、 是同一变化过程中的两个无穷小量，(1)若 ,则称 是比高阶的无
7、穷小量．也称 是比低阶的无穷小量．(2)若 ( 是不等于零的常数)，则称 与 是同阶无穷小量．若 ，则称与 是等价无穷小量．记为～。四.无穷小量的比较ESC思考：1.当时，相比哪一个是高阶无穷小？2、当时，无穷小是否同阶？是否等价？3.下列变量，在趋于何值时是无穷小？在趋于何值时是无穷大？四.无穷小量的比较ESC内容小结1.极限四则运算法则（注意使用条件）2.求函数极限的方法分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去零因子时,对型，分子分母同除以分母的最高次幂ESC内容小结（3）无穷小量与无穷大量的关系3.无穷
8、小量与无穷大量（2）无穷小量的性质（1）无穷小量与无穷大量的定义4.无穷小量的比较ESC课堂练习1.求下列函数的极限2.指出下列变量，当时是无穷小：3.指出下列变量，当时是无穷大：ESC课堂练习答案：P17习题1.21（2）(3)（4
