函数极限的性质与运算法则

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1、第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、函数极限的性质第四节机动目录上页下页返回结束函数极限性质与运算法则1.函数极限的唯一性机动目录上页下页返回结束2.局部有界性定理1.一、函数极限的性质3.局部保号性定理3.1若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)机动目录上页下页返回结束若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:分析:机动目录上页下页返回结束定理3.2若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理3.1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情

2、形)思考:若定理3.2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有定理4.若机动目录上页下页返回结束推论:若且利用保号性定理证明.说明:定理4可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令定理5.若则有说明:定理5可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例1.设n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束定理6.若且B≠0,则有机动目录上页下页返回结束x=3时分母为0!例2.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例3.

3、若机动目录上页下页返回结束例4.求解:时,分子分子分母同除以则分母原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)机动目录上页下页返回结束三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束例5.求解:令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束例6.求解:方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则注意使用条

4、件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量机动目录上页下页返回结束思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.问机动目录上页下页返回结束2.求解法1原式=解法2令则原式=机动目录上页下页返回结束3.试确定常数a使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故机动目录上页下页返回结束