第二章知识点总结高等代数资料

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1、第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n级行列式（1）等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积（2）的代数和，这里是一个n级排列。当是偶排列时，该项前面带正号；当是奇排列时，该项前面带负号，即：。2、等价定义和3、由n级排列的性质可知，n级行列式共有项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式2）副对角方向的行列式3）范德蒙行列式：4二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。2、互换行列式的两行（列），行列式变号。3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列

2、）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。三、行列式的按行（列）展开1、子式1）余子式：在n级行列式中，去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1级行列式称为的余子式，记作。2）代数余子式：称为的代数余子式。3）级子式：在n级行列式中，任意选定行和列，位于这些行列交叉处的个元素，按原来顺序构成一个级行列式M，称

3、为D的一个级子式。当时，在D中划去这行和列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式M的余子式。2、按一行（列）展开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即按第i行展开按第j列展开2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即或3、按行（列）展开拉普拉斯定理：在n级行列式中，任意取定个行（列），由这行（列）元素组成的所有的级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。4、其他性质1）设为n阶方阵，则；2）设为n阶方阵，则；3）设为n阶方阵，则，但；4）设为阶方阵，设为n阶方阵，则，但。5）行列式的乘

4、法定理：两个n级行列式乘积等于n级行列式4四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于的代数式来表示，依次从，逐级递推便可以求出的值。方法二：数学归纳法。第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到关于和的递推关系式。方法三：加边法。加边法是将所要计算的n级行列式适当地添加一行一列（或m行m列）得到一个新的n+1（或m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的

5、n+1（或m+1）级行列式较易计算。其一般做法如下：或特殊情况取或。方法四：拆行（列）法。将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。方法五：析因子法。如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式，然后对行列式实行某些变换，求出的互素的一次因式，使得与这些因式的乘积只相差一个常数因子c，根据多项式相等的定义，比较与的某一项系数，求出c值，便可求得。2、行列式

6、计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如，等等）。注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。（1）“三对角”行列式（）。注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。首先得到一个一般的递推公式，然后可以用以下两种方法之一求出的表达式：4l先计算等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。l间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于和的方程组，从而消去就可解得。（2）“爪型”行列式（）。注：“爪型”

7、行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。（3）Hessenerg型行列式（）。类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。类型六：其他形式行列式。五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n个未知量的n个方程的线性方程组的系数行列式不等于零，即，则方