高等代数重点知识点总结.pdf

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1、高等代数-----知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070第四章矩阵知识点考点精要一．矩阵及其运算1.矩阵的概念⎛a11…a1n⎞⎜⎟（1）由s×n个数a（i=1，2…s；j=1,2……n）排成n行n列的数表⋮⋱⋮，称为s行n列ij⎜⎟⎜a⋯a⎟⎝s1sn⎠矩阵，简记为A=(a)。ijsn（2）矩阵的相等设A=(a)，B=(a)，如果m=l，n=k，且a=b，对i=1，2…m；j=1,2……nijmnijlkijij都成立，则称A与B相等，记A=B。（3）各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。2.矩阵的运算（1）矩阵的加法⎛a

2、11…a1n⎞⎛b11…b1n⎞⎛a11+b11…a1n+b1n⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋮⋱⋮+⋮⋱⋮=⋮⋱⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟a⋯ab⋯b⎝a+b⋯a+b⎠⎝s1sn⎠⎝s1sn⎠s1s1snsn运算规律：i)A+B=B+Ai)(A+B)+C=A+(B+C)iii)A+O=Aiv）A+(-A)=O（3）数与矩阵的乘法⎛a11…a1n⎞⎛ka11…ka1n⎞⎜⎟⎜⎟k⋮⋱⋮=⋮⋱⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟a⋯aka⋯ka⎝s1sn⎠⎝s1sn⎠运算规律：（k+l）A=kA+lA，k(A+B)=ka+kBk(lA)=(kl)AliA=A.（3）矩阵的乘法⎛a11…a1n⎞⎛b11…b1n⎞⎛c11…c

3、1n⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋮⋱⋮⋮⋱⋮=⋮⋱⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜a⋯a⎟⎜b⋯b⎟⎜c⋯c⎟⎝s1sn⎠⎝s1sn⎠⎝m1mn⎠第1页共17页1高等代数-----知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070其中c=ab+ab+........+abi,=1,2,....;sj=1,2.....miji11ji22jinnj运算规律：i)（AB）C=A(BC)i)A(B+C)=AB+ACiii)(B+C)A=BA+CAiv）k(AB)=A(kB)=(kA)B一般情况，AB≠BAAB=AC,A≠0⇒B=CAB=0⇒A=0或B=0（4）矩阵的转置⎛a11…a1n⎞⎛a11…as1⎞⎜⎟'⎜⎟A=⋮

4、⋱⋮A的转置就是指矩阵A=⋮⋱⋮⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟a⋯aa⋯a⎝s1sn⎠⎝1nsn⎠运算规律：''i）()A=A'''ii）(AB+)=A+B'''iii）(AB)=BA''iv）(kA)=kA（5）方阵的行列式⎛a11…a1n⎞a11…a1n⎜⎟设方阵A=⋮⋱⋮A的行列式为A=⋮⋱⋮⎜⎟⎜⎟a⋯aa⋯a⎝s1sn⎠s1sn运算规律：'i)A=Anii)kA=kAiii)AB=AB=BA,这里A,B均为n级方阵。二．矩阵的逆1.基本概念（1）矩阵可逆的定义n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是单位矩阵。2第2页共17页高等代数-----知识点总结首都师范大学

5、数学科学院1100500070（2）伴随矩阵⎛a11…a1n⎞⎛A11…A1n⎞⎜⎟*⎜⎟设A是矩阵A=⋮⋱⋮中元素a的代数余子式，矩阵A=⋮⋱⋮称A的伴ij⎜⎟ij⎜⎟⎜a⋯a⎟⎜A⋯A⎟⎝n1nn⎠⎝n1nn⎠随矩阵。2.基本性质*−1A（1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（A≠0），而A=A'（2）如果矩阵A，B可逆，那么A与AB也可逆，且'−1−1'−1−1−1()A=(A)(AB)=BA(3)设A是s×n矩阵，如果P是s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）三．分块矩阵了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。对于两个有相同分块的准对

6、角矩阵⎛A⎞⎛B⎞1010⎜⎟⎜⎟A=⎜⋱⎟,B=⎜⋱⎟如果它们相应的分块是同级的，则⎜0⎟⎜⎟A0B⎝l⎠⎝l⎠⎛AB⎞110⎜⎟（1）AB=⎜⋱⎟⎜0⎟AB⎝ll⎠⎛A+B⎞110⎜⎟（2）AB+=⎜⋱⎟⎜0⎟⎝A+B⎠ll（3）A=AA....A12i⎛−1⎞A10⎜⎟−1（4）A可逆的充要条件是AA,....A可逆，且此时，A=⎜⋱⎟12i⎜0−1⎟A⎝l⎠第3页共17页3高等代数-----知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070四．初等变换与初等方阵1.基本概念（1）初等变换i)用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作r×kc(×k)iiii)互换矩阵中i，j两行（

7、列）的位置，记作r←⎯→rc(×c)ijijiii）将第i行（列）的k倍加到第j行（列）上，记作r+krc(×kc)称为矩阵的三种初等行（列）jiji矩阵。初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。（2）初等方阵单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、2.基本性质（1）对一个s×n矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。⎛10⋯0⋯0⎞⎜⎟01⋯0