线性代数高等代数知识点总结课件.ppt

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1、一、知识结构框图概念计算性质展开证

2、A

3、=0应用行列式一、行列式知识概述概念不同行不同列的元素的乘积的代数和。性质经转置行列式的值不变；互换两行行列式变号；某行有公因子可提到行列式符号外；拆成行列式的和；消法变换。展开计算数字型抽象型三角化法；重要行列式法；加边法；递推法。用行列式性质；用矩阵性质；用特征值；利用矩阵相似。【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式的计算及其证明.证

4、A

5、=0AX=0有非零解；反证法；R(A)

6、A

7、=-

8、A

9、；A的列向量组线性相关；0是A的特征值；应用AX=0有非零解

10、；伴随矩阵求逆法；克拉姆法则;A可逆的证明；线性相关(无关)的判定；特征值计算。二、特殊行列式的值三、有关行列式的几个重要公式1、若A是n阶矩阵，则2、若A,B是n阶矩阵，则3、若A是n阶矩阵，则4、若A是n阶可逆矩阵，则5、若A是n阶矩阵，是A的n个特征值，则6、若A与B相似，则行列式的计算（重点）常用方法：三角化法展开降阶法（和消元相结合最为有效）加边法归纳法化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）本章所需掌握的题型：行列式计算（重点）1、具体阶数行列式计算2、较简单的n

11、阶行列式计算与行列式定义、性质有关的问题需利用行列式进行判定的问题如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况2、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数＝向量维数）4、两个矩阵相似的必要条件5、矩阵正定、半正定的必要条件14转置取逆伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1(kA)*=kn1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)1=B1A1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)

12、1伴随(A*)*=

13、A

14、n2A*其它A-1=

15、A

16、-1A*AA*=A*A=

17、A

18、I当A可逆时，A*＝

19、A

20、A115行列式秩数加法r(A+B)≤r(A)+r(B)数乘

21、kA

22、=kn

23、A

24、r(kA)=r(A)(k≠0)乘法

25、AB

26、=

27、A

28、

29、B

30、r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)转置

31、AT

32、=

33、A

34、r(AT)=r(A)取逆

35、A1

36、=

37、A

38、1伴随

39、A*

40、=

41、A

42、n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n10,若r(A)

43、(AQ)=r(PAQ)16初等变换行变换列变换换法变换倍法变换消法变换对单位矩阵做一次初等变换对A做一次行变换=用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换=用相应的初等矩阵右乘以A17对于m×n矩阵A，B下列条件等价AB，即A可由初等变换化成B有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B秩A=秩BA，B的标准型相同A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ每个秩数为r的矩阵都等价于矩阵等价18n阶方阵A可逆A的行最简形为E.A为初等阵的乘积多角度看

44、可逆阵A的行(列)向量组线性无关任一n维向量都可由行(列)向量组线性表示A的特征值均不为零A的行(列)向量组的秩都是n.(非退化阵)(满秩)ATA为正定阵.方阵A与E相似A=EA正定i>0p=nA=PTPk>01.错（不满足消去律）2对3错（不满足交换律）4.错（不一定是方阵）5.对6错（同4）7对8对9错（不存在关于加法的公式，同理行列式也不存在关于加法的公式）10对向量22线性表示：列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,...,r)

45、=(1,...,s)C.进一步，C的第k列恰为k的表示系数线性表示有传递性被表示者的秩数≤表示者的秩数向量组等价：对于向量组S，T，下列条件等价S和T等价，即S,T可以互相表示S,T的极大无关组等价S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示23线性相关与线性表示：1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价1,...,r线性无关当c

46、1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝01,...,r的秩数等于r(1,...,r)是列满秩矩阵24极大无关组与秩数：1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当1,...,r线性无关S的每个向量都可由1,...,r线性表示秩S＝极大无关组中向量的个数若秩S＝r,则任