线性代数高等代数知识点总结讲课教案.ppt

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1、一、知识结构框图概念计算性质展开证

2、A

3、=0应用行列式一、行列式知识概述概念不同行不同列的元素的乘积的代数和。性质经转置行列式的值不变；互换两行行列式变号；某行有公因子可提到行列式符号外；拆成行列式的和；消法变换。展开计算数字型抽象型三角化法；重要行列式法；加边法；递推法。用行列式性质；用矩阵性质；用特征值；利用矩阵相似。【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式的计算及其证明.证

4、A

5、=0AX=0有非零解；反证法；R(A)

6、A

7、=-

8、A

9、；A的列向量组线性相关；0是A的特征值；应用AX=0有非零解；伴随矩阵求逆法；克拉姆法则;A可逆的证明；线性相关(无关)

10、的判定；特征值计算。二、特殊行列式的值三、有关行列式的几个重要公式1、若A是n阶矩阵，则2、若A,B是n阶矩阵，则3、若A是n阶矩阵，则4、若A是n阶可逆矩阵，则5、若A是n阶矩阵，是A的n个特征值，则6、若A与B相似，则行列式的计算（重点）常用方法：三角化法展开降阶法（和消元相结合最为有效）加边法归纳法化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）本章所需掌握的题型：行列式计算（重点）1、具体阶数行列式计算2、较简单的n阶行列式计算与行列式定义、性质有关的问题需利用行列式进行判定的问题如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况2、矩

11、阵可逆性3、向量组相关性（向量个数＝向量维数）4、两个矩阵相似的必要条件5、矩阵正定、半正定的必要条件14转置取逆伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1(kA)*=kn1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)1=B1A1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1伴随(A*)*=

12、A

13、n2A*其它A-1=

14、A

15、-1A*AA*=A*A=

16、A

17、I当A可逆时，A*＝

18、A

19、A115行列式秩数加法r(A+B)≤r(A)+r(B)数乘

20、kA

21、=

22、kn

23、A

24、r(kA)=r(A)(k≠0)乘法

25、AB

26、=

27、A

28、

29、B

30、r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)转置

31、AT

32、=

33、A

34、r(AT)=r(A)取逆

35、A1

36、=

37、A

38、1伴随

39、A*

40、=

41、A

42、n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n10,若r(A)

43、成B有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B秩A=秩BA，B的标准型相同A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ每个秩数为r的矩阵都等价于矩阵等价18n阶方阵A可逆A的行最简形为E.A为初等阵的乘积多角度看可逆阵A的行(列)向量组线性无关任一n维向量都可由行(列)向量组线性表示A的特征值均不为零A的行(列)向量组的秩都是n.(非退化阵)(满秩)ATA为正定阵.方阵A与E相似A=EA正定i>0p=nA=PTPk>01.错（不满足消去律）2对3错（不满足交换律）4.错（不一定

44、是方阵）5.对6错（同4）7对8对9错（不存在关于加法的公式，同理行列式也不存在关于加法的公式）10对向量22线性表示：列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C.进一步，C的第k列恰为k的表示系数线性表示有传递性被表示者的秩数≤表示者的秩数向量组等价：对于向量组S，T，下列条件等价S和T等价，即S,T可以互相表示S,T的极大无关组等价S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示23线性相关与线性表示：1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示若,1,...,r线性相关

45、,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价1,...,r线性无关当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝01,...,r的秩数等于r(1,...,r)是列满秩矩阵24极大无关组与秩数：1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当1,...,r线性无关S的每个向量都可由1,...,r线性表示秩S＝极大无关组中向量的个数若秩S＝r,则任