大学 高等代数 线性代数09109.ppt

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1、§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、公因式最大公因式二、最大公因式的存在性与求法§1.4最大公因式三、互素四、多个多项式的最大公因式i)1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)若，且，则则称为的最大公因式．则称　为　　　　的公因式．一、公因式最大公因式①的首项系数为1的最大公因式记作:注：②，是与零多项式0的最大公因式．③两个零多项式的最大公因

2、式为0．④最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.若为的最大公因式，则，c为非零常数．若不全为零，则二、最大公因式的存在性与求法若等式成立，则与有相同的公因式,从而．引理：能否把求的最大公因式的问题转化为求两个次数较低的多项式的最大公因式的问题呢？思考：若，用去除得到由引理，与有相同的最大公因式猜想：能不能反复地利用带余除法及引理不断地降低多项式的次数来求最大公因式呢？定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．若有一为0，如，则就是一个最大公因式．且考虑一般情形

3、：用除得：其中或.若，用除，得：证：若，用除，得如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0．设其中　或．即于是我们有一串等式从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法．②定理２中最大公因式中的不唯一.③对于，使,但是未必是的最大公因式.如:，则取，有取，也有取,也有成立．事实上,若则对，④若，且则为的最公因式．设为的任一公因式，则证：从而即∴为的最大公因式．例1求，并求使解:且由得例2.设求

4、，并求使因式，即就可以)，这是因为和具有完全相同的若仅求，为了避免辗转相除时出现注:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始为非零常数．则称为互素的(或互质的)．1．定义:三、互素若互素除去零次多项式外无说明:由定义，其它公因式．定理3互素，使2．互素的判定与性质证：显然．设　　为　　　　的任一公因式，则从而又故定理4若，且，则证：使于是有又推论若，且又，则证:，使于是，使而由定理4有从而若满足:定义i)则称为的最大公因式．ii)若则四、多个多项式的最大公因式注：表示首1最大公因式．②，使③的

5、最大公因式一定存在．④互素　　　　　　　　　　使附:最小公倍式设，若i)ii)对的任一公倍式，都有则称为的最小公倍式．注:的首项系数为1的最小公倍式记作:一、不可约多项式二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解定理因式分解与多项式系数所在数域有关如：（在有理数域上）问题的引入（在实数域上）（在复数域上）设，且，若不能表示成数域P上两个次数比低的多项式的定义：乘积，则称为数域P上的不可约多项式.说明：①一个多项式是否不可约依赖于系数域.②一次多项式总是不可约多项式.一、不可约多项式③多项式　　　　　　

6、不可约的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.或④多项式不可约，对　　　　　　有证：设则或即或不可约.，若则或证：若结论成立.若　　不整除，则定理5：不可约，则必有某个　　　使得推论：唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，若有两个分解式1.定理：则，且适当排列因式的次序后，有其中是一些非零常数．二、因式分解及唯一性定理若，则可证：对的次数作数学归纳.时，结论成立．下证的情形.设对次数低于n的多项式结论成立．（一次多项式都不可约）若是不可约多项式.若不是不可约多项式，则存在且　　

7、使结论显然成立．由归纳假设皆可分解成不可约多项式的积.再证唯一性.⑴可分解为一些不可约多项式的积.都是不可约设　　有两个分解式多项式.对作归纳法．若则必有假设不可约多项式个数为时唯一性已证.由(１)不妨设　　　　　　则使得(1)两边消去由归纳假设有即得总可表成对其中　为　　的首项系数，　　为互不相同的，首项系数为1的不可约多项式，的标准分解式.称之为2.标准分解式：说明①若已知两个多项式的标准分解式,则可直接写出就是那些同时在的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在　　　　　

8、中所带的方幂指数中较小的一个．例如，若　　　　　的标准分解式分别为则有②虽然因式分解定理在理论上有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法．实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的．小结：1、最大公因式的求法2、互素的判定与性质3、因式分解的唯一性定理作业：P44－4551）；62）；7