[高等教育]线性代数

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1、行列式的性质行列式的性质余子式与代数余子式行列式按行（列）展开法则一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式变换两行得到的,即当时,当时,于是则有故证毕例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．证明性

2、质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则D等于下列两个行列式之和：证明性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例１计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解二、余子式与代数余子式一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便.能否把一个行列式转化为一些阶数比较低的行列式来计算.在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外

3、都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如证当位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时得得中的余子式故得于是有性质行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证三、行列式按行（列）展开法则性质行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即三、行列式按行（列）展开法则例2计算行列式解例3推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上述定理和推论，有克罗内克(Kronecker)符号例3已知行列式求解：1–53–31–10–3=–8P.307(3)(5),8(2),9,10,11