[高等教育]线性代数 矩阵理论基础

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1、xxdaishu1@126.comxxdaishu11第二章矩阵理论基础§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形§2.3可逆矩阵§2.2n阶(方阵的)行列式§2.1矩阵的运算§2.5分块矩阵§2.6线性方程组解的存在性定理·Cramer法则2§2.1矩阵的运算矩阵的加法矩阵的数乘3特别4运算规律5例1解：6矩阵的乘法7不存在例28例39例4问：上式=0的充要条件是什么？10例5问：E在矩阵乘法中的作用…11有了矩阵的乘法，方程组的矩阵表示形式对应⑴可以用矩阵形式表示为AX=B，其中B=。b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2

2、namnX=，x1x2xn称为方程组的增广矩阵对应齐次方程组⑵可用矩阵形式表示为AX=O12运算规律证(1):记13方阵的幂设A是n阶方阵，定义规定称为A的m次多项式。设为x的m次多项式，运算规律14例6举例说明因下一例题说明(2)(3)不成立。15例7成立的充要条件是A与B可交换(即AB=BA)。16例9解17注当A与B可交换时，有下面二项展开式称为数量矩阵，它与任何方阵可交换。18矩阵的转置把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。如运算规律19例10解法一解法二20例11解21例12解22注：(1)(2)23例已知提示:方法同上可得24定义设

3、A为n阶方阵，如果满足A=AT,即,则称A为对称矩阵.假设A,B都是n阶对称矩阵，显然kA,A+B都是对称矩阵。但AB不一定是对称矩阵。例如对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等25例14例13设，证明和分别是n阶和m阶对称矩阵。证证26反对称矩阵:如果则矩阵A称为反对称矩阵。27第二章矩阵理论基础§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形§2.3可逆矩阵§2.2n阶(方阵的)行列式§2.1矩阵的运算§2.5分块矩阵§2.6线性方程组解的存在性定理·Cramer法则28行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝

4、和发明的。1750年，瑞士数学家克莱姆对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，没有单独形成一门理论。对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，是法国数学家范德蒙，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。29继范德蒙之后，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。继柯西之后，雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理

5、论自身在19世纪也得到了很大发展。30§2.2n阶(方阵的)行列式在D中划掉第i行和第j列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为(i,j)元素的余子式，记为Mij,称Aij=(-1)i+jMij为(i,j)元素的代数余子式。定义用式子D表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一个数，称为A的行列式。31例如：32n阶行列式的值定义如下(递归定义):当n=1时，当时，假设对阶行列式已有定义，则定义上式又称按第一列展开。比较书P.29定义133计算下列行列式例134由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算主对角线副对角线35(1)沙路法三阶行列式的计算36注意红线上三元

6、素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．(2)对角线法则说明⒈对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.37解按对角线法则，有例238解方程左端例339计算上三角行列式按第1列展开按第1列展开例440行列式的性质推论1如果行列式有一行（列）为零，则行列式等于零。例如性质1行列式按任意一行展开，其值相等。41例如性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号。再如，证明42推论2如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。例如43性质3行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外

7、面。例如44推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。例如推论4是一个数。45＋性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。46例如=？4748例如性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。49例5三角形，然后计算行列式的值。只用这种变换，把行列式化为50只用变换或只用变换一定能把行列式化为上(下)三角形.行列式的值不