矩阵理论基础（3）.ppt

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1、-1-第二章矩阵理论基础§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形§2.3可逆矩阵§2.2n阶(方阵的)行列式§2.1矩阵的运算§2.5分块矩阵§2.6线性方程组解的存在性定理·Cramer法则-2-§2.5分块矩阵把大矩阵分成小矩阵处理。(1)简化矩阵计算；(2)通过小矩阵的性质推断大矩阵的性质；(3)突出矩阵结构,方便理论推导.-3-称为按列分块称为按行分块称为2×2的分块矩阵,小矩阵A11等称为A的子块.-4-运算规则(1)设A,B的行数、列数相同,且有相同的分法-5-(2)设则-6-(3)设A与B可乘,且A的列分法与B的行分法相同其中则

2、-7-练练每个矩阵分成四块应如何分？-8-例1求AB直接计算分块计算-9--10-(4)设则-11-(5)设A是n阶方阵其中都是方阵,则称A为分块对角矩阵.-12-例2，求解-13-例3请验证其正确性.-14-常用分块法-15-(1)(2)练习：写出C的行的两种表示方法.(答案在下页)书P68例3-16-(1)(2)-17-例4设A为3阶矩阵,P是3阶可逆矩阵,是P的三个列向量且满足求矩阵B,使得解-18-例5证思考:AAT=O如何?(令B=AT看看)-19-第二章矩阵理论基础§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形§2.3可逆矩阵§2.2n

3、阶(方阵的)行列式§2.1矩阵的运算§2.5分块矩阵§2.6线性方程组解的存在性定理·Cramer法则-20-§2.6线性方程组解的存在性定理·Cramer法则在第一章中，我们学习了如何求解线性方程组。并且根据行最简行的形状判别方程组解的情况。本节我们利用矩阵的秩来阐述方程组解的存在性定理。-21-求解非齐次线性方程组解对增广矩阵只用行变换化阶梯形最后一行对应的方程是：0=2,所以无解。思考：复习-22-解方程组第一步:把增广矩阵用行变换化阶梯形,如果,则无解.如果,则继续化为最简阶梯形。问:此时其含义是独立(或有效)方程的个数。以下问

4、题针对的一般方程组来回答。复习-23-第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。问：自由变量的个数=即未知数的个数减去独立方程的个数。问：何时有唯一解？何时有无穷多解？当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当时，有无穷多解，当时有唯一解。-24-第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。令，得通解-25-综合例1和例2，对于方程组由以上三条又得-26-对于非齐次方程组定理2.6.1对于齐次方程组非齐次方程组解的判别定理定理2.6.2齐次方程组解

5、的判别定理-27-例1时，有无穷多解。，时，无解。，时，有无穷多解。问a,b为何值时,方程组有解,无解。解：-28-例2问a为何值时，该方程组有非零解，并求通解。a=0时，r(A)<4,有非零解。同解方程组为解：-29-令得通解当a≠0时，当a=－10时，r(A)=3<4,有非零解。同解方程组为令得解-30-设的线性方程组的系数行列式定理2.6.3Cramer法则-31-则方程组有唯一解,且解为:证明P77-32-对于齐次方程组系数行列式方程组只有零解或者说：方程组有非零解定理2.6.4易由定理2.6.2得证。-33-解方程组的系数行列

6、式由Cramer法则，它有唯一解。解线性方程组例3-34-同理可得故方程组的解为:-35-问取何值时，齐次方程组有非零解？解系数行列式按第3行展开结论…例4-36-再解例2：方法二(显然对a=0也成立)当a=0或a=－10时有非零解。其它同前。-37-例5解：系数矩阵是方阵首选行列式法问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。-38-分析：当时有唯一解，当时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。当时，方程组有唯一解。当时当时，，方程组无解。当时，

7、，方程组有无穷多解。-39-通解为